[论文解读] Hardy spaces associated with Schrodinger operators on the Heisenberg group

Chin-Cheng Lin, Heping Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文引入了与海森堡群上Schrödinger算子 $L = -\Delta_{\mathbb{H}^n} + V$ 相关的新Hardy空间 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$，其定义基于半群 $\{e^{-sL}\}_{s>0}$ 的极大函数。本文建立了 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ 的原子分解，并证明该空间可通过Riesz变换 $R^L_j = X_j L^{-1/2}$ 的 $L^1$-有界性来表征，将欧几里得空间中的结果推广至海森堡群的非欧几何设定。

ABSTRACT

Let $L= -Δ_{\mathbb{H}^n}+V$ be a Schrödinger operator on the Heisenberg group $\mathbb{H}^n$, where $Δ_{\mathbb{H}^n}$ is the sub-Laplacian and the nonnegative potential $V$ belongs to the reverse Hölder class $B_{\frac{Q}{2}}$ and $Q$ is the homogeneous dimension of $\mathbb{H}^n$. The Riesz transforms associated with the Schrödinger operator $L$ are bounded from $L^1(\mathbb{H}^n)$ to $L^{1,\infty}(\mathbb{H}^n)$. The $L^1$ integrability of the Riesz transforms associated with $L$ characterizes a certain Hardy type space denoted by $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ which is larger than the usual Hardy space $H^1(\mathbb{H}^n)$. We define $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ in terms of the maximal function with respect to the semigroup $\big \{e^{-s L}:\; s>0 \big\}$, and give the atomic decomposition of $H^1_L(\mathbb{H}^n)$. As an application of the atomic decomposition theorem, we prove that $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ can be characterized by the Riesz transforms associated with $L$. All results hold for stratified groups as well.

研究动机与目标

• 为海森堡群上Schrödinger算子定义并表征新的Hardy空间 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$。
• 利用 $H^{1,q}_L$-原子（$1 < q \leq \infty$）建立 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ 的原子分解。
• 证明与 $L$ 相关的Riesz变换 $R^L_j$ 可通过 $L^1$-有界性表征 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$。
• 将该理论框架推广至一般分层群。

提出的方法

• 通过极大函数 $M^L f(x) = \sup_{s>0} |e^{-sL}f(x)|$ 定义 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$。
• 构造在球上具有紧支集、$L^q$-范数控制且当 $r < \rho(x_0)$ 时满足取消性质的 $H^{1,q}_L$-原子。
• 利用半群 $e^{-sL}$ 和Riesz变换 $R^L_j$ 的核估计，建立弱型 $(1,1)$ 估计。
• 将函数分解为 $f = \tilde{f} + (f - \tilde{f})$ 以建立 $H^1_L$ 与局部Hardy空间 $h^1(\mathbb{H}^n)$ 的联系。
• 应用Christ与Geller的结果，通过分层群上 $H^1$ 的Riesz变换表征。
• 证明 $R^L_j$ 的弱型 $(1,1)$ 有界性，从而推出 $H^1_L$ 到 $L^1$ 的有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用半群极大函数为海森堡群上Schrödinger算子定义Hardy空间 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$？
• RQ2 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ 的原子分解是什么？它与经典原子分解有何不同？
• RQ3 与 $L$ 相关的Riesz变换 $R^L_j$ 是否能通过 $L^1$-有界性表征 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$？
• RQ4 当 $Q/2 \leq q < Q$ 时，$R^L_j$ 在 $L^p(\mathbb{H}^n)$ 上有界的 $p$ 的范围是否最优？
• RQ5 这些结果在多大程度上可推广至一般分层群？

主要发现

• Hardy空间 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ 定义为所有满足 $M^L f \in L^1(\mathbb{H}^n)$ 的 $L^1(\mathbb{H}^n)$ 函数，其范数为 $\|f\|_{H^1_L} = \|M^L f\|_{L^1}$。
• 通过在 $r < \rho(x_0)$ 时具有取消性质的 $H^{1,q}_L$-原子建立了 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ 的原子分解，且 $\|f\|_{H^1_L} \sim \inf \sum_j |\lambda_j|$ 对所有原子分解成立。
• $R^L_j$ 有界映射 $L^1(\mathbb{H}^n)$ 到 $L^{1,\infty}(\mathbb{H}^n)$，且 $f \in H^1_L(\mathbb{H}^n)$ 当且仅当 $f \in L^1(\mathbb{H}^n)$ 且对所有 $j$ 有 $R^L_j f \in L^1(\mathbb{H}^n)$。
• 表征式 $\|f\|_{H^1_L} \sim \|f\|_{L^1} + \sum_{j=1}^{2n} \|R^L_j f\|_{L^1}$ 成立，确认了 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ 的Riesz变换表征。
• 通过论文中的反例表明，$R^L_j$ 在 $L^p$ 上有界的 $p$ 的范围是最优的。
• 所有结果均可推广至一般分层群，论证方式相同，因核估计与函数演算在该设定下依然成立。