[论文解读] Hausdorff dimension of boundaries of self-affine tiles in R^n

J. J. P. Veerman|ArXiv.org|Jan 15, 1997

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用 11

一句话总结

本文提出了一种新方法，用于计算 R^n 中自仿射分形边界在仿射变换不共轭于相似变换时的豪斯多夫维数。该方法建立了紧致的上下界，并在特征值模长相等时精确计算出维数——该情况适用于若尔当块，在小波理论中具有重要意义——并为多个例子提供了精确值。

ABSTRACT

We present a new method to calculate the Hausdorff dimension of a certain class of fractals: boundaries of self-affine tiles. Among the interesting aspects are that even if the affine contraction underlying the iterated function system is not conjugated to a similarity we obtain an upper- and lower-bounds for its Hausdorff dimension. In fact, we obtain the exact value for the dimension if the moduli of the eigenvalues of the underlying affine contraction are all equal (this includes Jordan blocks). The tiles we discuss play an important role in the theory of wavelets. We calculate the dimension for a number of examples.

研究动机与目标

• 开发一种计算 R^n 中自仿射分形边界豪斯多夫维数的方法。
• 解决标准方法失效的非相似仿射压缩情形下的挑战。
• 在一般情形下提供维数的紧致上下界。
• 推导出当仿射映射的特征值模长相等时豪斯多夫维数的精确表达式。
• 将结果应用于小波理论和分形几何中重要的具体例子。

提出的方法

• 该方法基于分析由仿射压缩构成的迭代函数系统生成的自仿射分形的结构。
• 利用仿射映射线性部分的谱性质，特别是其特征值的模。
• 通过构建符号动力系统框架来建模分形边界的结构。
• 应用度量几何与动力系统的技术，通过覆盖论证来估计维数。
• 在特征值模长相等的情况下，该方法证明上下界重合，从而得出精确维数。
• 通过在若干已知自仿射分形上的显式计算验证了该方法，包括含有若尔当块的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 当底层仿射映射不共轭于相似变换时，自仿射分形边界的豪斯多夫维数是多少？
• RQ2 在一般自仿射情形下，能否推导出豪斯多夫维数的紧致上下界？
• RQ3 在何种条件下，自仿射分形边界的豪斯多夫维数可被精确计算？
• RQ4 线性部分中若尔当块的存在如何影响分形边界的维数？
• RQ5 对于特征值模长相等的特定自仿射分形，其豪斯多夫维数的精确值是多少？

主要发现

• 本文即使在仿射映射不共轭于相似变换时，也建立了分形边界豪斯多夫维数的上下界。
• 当线性部分的所有特征值模长相等时，上下界重合，从而得到精确的豪斯多夫维数。
• 对若干例子（包括含若尔当块的情形）精确计算了维数。
• 该方法适用于在小波理论中起关键作用的分形，将分形几何与调和分析联系起来。
• 该结果将先前关于自相似集的研究推广到更一般的非相似压缩自仿射情形。
• 在特征值模长相等的情况下，维数计算为精确的解析结果，而非数值近似。