[论文解读] Heat Kernel Empirical Laws on $\mathbb{U}_N$ and $\mathbb{GL}_N$

Todd Kemp|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文建立了从单位酉群 $Σ_N$ 和一般线性群 $Σ_N$ 上的热核测度抽取的随机矩阵的样本特征值与奇异值分布的几乎必然收敛性，证明了对于偶数 $p$ 的 $L^p$ 收敛性，并将 $Σ_N$ 上的极限非交换分布识别为无穷维多项式空间上流的投影。

ABSTRACT

This paper studies the empirical measures of eigenvalues and singular values for random matrices drawn from the heat kernel measures on the unitary groups $\mathbb{U}_N$ and the general linear groups $\mathbb{GL}_N$, for $N\in\mathbb{N}$. It establishes the strongest known convergence results for the empirical eigenvalues in the $\mathbb{U}_N$ case, and the first known almost sure convergence results for the eigenvalues and singular values in the $\mathbb{GL}_N$ case. The limit noncommutative distribution associated to the heat kernel measure on $\mathbb{GL}_N$ is identified as the projection of a flow on an infinite-dimensional polynomial space. These results are then strengthened from variance estimates to $L^p$ estimates for even integers $p$.

研究动机与目标

• 在单位酉群 $Σ_N$ 上的热核测度下，建立随机矩阵经验特征值测度最强已知的收敛结果。
• 证明在一般线性群 $Σ_N$ 情况下，特征值与奇异值的首个已知几乎必然收敛结果。
• 将 $Σ_N$ 上的极限非交换分布识别为无穷维多项式空间上流的投影。
• 将方差估计强化为偶数 $p$ 的 $L^p$ 收敛性，提供收敛速率的定量估计。
• 将分析扩展至 $U^N_t$ 和 $Z^N_{s,t}$，后者在酉群与一般线性群之间实现双参数插值。

提出的方法

• 将热核测度 $\rho^N_t$ 在 $\u03a3_N$ 上和 $\mu^N_{s,t}$ 在 $\u03a3_N$ 上用作随机矩阵的概率律。
• 利用交错算子和测度集中技术控制热核测度下迹多项式方差。
• 应用函数演算与经验测度理论，将特征值/奇异值分布与非交换分布关联。
• 利用非交换概率与自由概率理论刻画 $\mathbb{C}^*$ 上极限分布 $\nu_t$。
• 通过迹多项式与 $C_2(s,t,P,P)$ 常数对 $\|f(Z, Z^*)\|_{L^p}$ 的方差界推导 $L^p$ 收敛性。
• 应用切比雪夫不等式与贝尔-坎特利引理，将概率收敛升级为 $L^p$ 中的几乎必然收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 从 $\u03a3_N$ 上的热核测度抽取的随机矩阵的极限经验特征值分布是什么？
• RQ2 当 $N \to \infty$ 时，$\u03a3_N$ 上经验特征值分布如何以几乎必然方式收敛？
• RQ3 $\u03a3_N$ 上热核测度的非交换分布极限是什么？它与无穷维流有何关联？
• RQ4 能否为矩阵多项式的经验 $L^p$-范数建立 $L^p$ 收敛性？其收敛速率如何？
• RQ5 方差界中的常数如何依赖于测试多项式的次数与范数？能否进一步改进？

主要发现

• 对于 $t > 0$，$U^N_t$ 的经验特征值测度 $\widetilde{\nu}^N_t$ 依概率弱收敛于 $\nu_t$，当 $1 < p < 3/2$ 时，对 $f \in H_p(\mathbb{U})$ 实现几乎必然收敛。
• 线性泛函 $\int f \, d\widetilde{\nu}^N_t$ 的方差被有界于 $C(t,p)/N^{2p-1} \|f\|_{H_p(\mathbb{U})}^2$，其中 $C(t,p)$ 关于 $t$ 和 $p$ 连续。
• 当 $p \geq 3/2$ 时，$f$ 为利普希茨函数，方差界改善为 $2t/N^2 \|f\|_{\mathrm{Lip}(\mathbb{U})}$。
• $\u03a3_N$ 上的极限非交换分布被识别为无穷维多项式空间上流的投影。
• 对于 $Z^N_{s,t}$，矩阵多项式的 $L^p$-范数几乎必然收敛于其非交换 $L^p$-范数，方差界为 $O(1/N^2)$。
• 若 $C_2(s,t,P,P)$ 常数与 $P$ 的次数无关，则 $L^p$ 收敛速率在 $p$ 上一致，该猜想得到论文中证据的支持。