[论文解读] Heat,temperature and relativity

Maciej Przanowski|ArXiv.org|Jun 15, 2009

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文通过使用 J"uttner 分布推导相对论性吉布斯分布，解决了相对论热力学中长期存在的争议，表明温度和热量按 $ T = \gamma(\vec{V})T_0 $ 和 $ \delta Q = \gamma(\vec{V})\delta Q_0 $ 变换，与 Ott 理论一致。它确立了四维矢量 $ T^j = \frac{1}{c}T_0 u^j $ 和热量 $ \delta Q^j = T^j dS $ 在洛伦兹变换下保持不变，通过一个相对论性卡诺循环 Gedanken 实验验证了相对论性热力学的正确性。

ABSTRACT

Relativistic thermodynamics as result of some recent computer simulations is derived.

研究动机与目标

• 解决相对论性热力学中关于热量、功、温度和概率的持续争议。
• 利用 J"uttner 分布建立相对论性统计力学的洛伦兹不变形式。
• 通过吉布斯系综和四维矢量形式，推导出温度和热量的一致变换规律。
• 通过一个相对论性卡诺循环 Gedanken 实验验证变换 $ T = \gamma(\vec{V})T_0 $。

提出的方法

• 通过运动参考系和静止参考系中的 J"uttner 分布，推导出相对论性吉布斯分布 $ dw = \frac{V^N}{(2\pi\hbar)^{3N}N!\mathcal{Z}} \exp\left(-\beta c u_j P^j\right) d^{3N}p $。
• 定义配分函数 $ \mathcal{Z} $ 和熵 $ S = k(\ln \mathcal{Z} + \beta c u_j \langle P^j \rangle) $，表明它们是洛伦兹不变量。
• 构建四维矢量 $ d\langle P^j \rangle $，并将其分解为 $ \frac{1}{kc\beta} u^j dS + \langle dP^j \rangle + \delta Q_\perp^j $，其中 $ u_j \delta Q_\perp^j = 0 $。
• 定义温度四维矢量 $ T^j = \frac{1}{c}T_0 u^j $ 和热量四维矢量 $ \delta Q^j = T^j dS $，以确保洛伦兹不变性。
• 将功的四维矢量 $ \delta L^j $ 定义为非四维矢量，其中 $ \delta L = -PdV + \gamma^2 \frac{V\vec{V}^2}{c^2} dP + (\langle E_0 \rangle + P_0 V_0) d\gamma $。
• 通过相对论性卡诺循环验证变换规律，表明 $ \frac{Q}{Q_0} = \frac{T}{T_0} = \gamma(\vec{V}) $，从而确认 $ T = \gamma T_0 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在运动参考系中一致地表述麦克斯韦-玻尔兹曼分布的相对论推广？
• RQ2 在相对论性统计力学中，温度和热量的正确洛伦兹变换规律是什么？
• RQ3 为何不同作者（如庞加莱与 Ott）对温度的变换规则提出相互矛盾的主张？
• RQ4 能否从洛伦兹不变吉布斯系综推导出相对论性热力学第一定律？
• RQ5 在相对论性热力学中，一个运动黑体的温度是否具有明确定义？

主要发现

• 相对论性吉布斯分布为 $ dw = \frac{1}{Z\gamma(\vec{V})} \exp\left(-\beta c u_j p^j\right) dp_x dp_y dp_z $，将 J"uttner 分布推广至运动参考系。
• 配分函数 $ \mathcal{Z} $、熵 $ S $ 和压强 $ P $ 均为洛伦兹不变量，确保了不同参考系间热力学的一致性。
• 四维矢量 $ (\langle \vec{P} \rangle, \frac{\langle E \rangle + PV}{c}) $ 是洛伦兹四维矢量，而 $ (\langle \vec{P} \rangle, \frac{\langle E \rangle}{c}) $ 不是。
• 温度按 $ T = \gamma(\vec{V})T_0 $ 变换，与 Ott 理论一致，并通过相对论性卡诺循环得到验证。
• 热量按 $ \delta Q = \gamma(\vec{V})\delta Q_0 $ 变换，功的表达式为 $ \delta L = -PdV + \gamma^2 \frac{V\vec{V}^2}{c^2} dP + (\langle E_0 \rangle + P_0 V_0) d\gamma $。
• 相对论性卡诺循环的效率为 $ \eta = 1 - \gamma(\vec{V}) < 0 $，这仅在 $ T = \gamma T_0 $ 时成立，而非 $ T = \gamma^{-1} T_0 $。