[论文解读] Heavy tail and light tail of Cox-Ingersoll-Ross processes with regime-switching

Tongtong Hou, Jinghai Shao|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文分析了带 regime-switching 的 Cox-Ingersoll-Ross (CIR) 过程中平稳分布的尾部行为，表明此类模型的尾部可能呈现重尾分布（与标准 CIR 模型不同），具体取决于均值回归参数 $ a_{\min} $ 的符号。关键贡献在于提出一个精确的判据，将系数 $ a_{\min} $ 与平稳分布中重尾或轻尾的存在性联系起来，为利率建模中的 regime-switching 提供了理论支持。

ABSTRACT

This work is denoted to studying the tail behavior of Cox-Ingersoll-Ross (CIR) processes with regime-switching. One essential difference shown in this work between CIR process with regime-switching and without regime-switching is that the stationary distribution for CIR process with regime-switching could be heavy-tailed. Our results provide a theoretical evidence of the existence of regime-switching for interest rates model based on its heavy-tailed empirical evidence. In this work, we first provide sharp criteria to justify the existence of stationary distribution for the CIR process with regime-switching, which is applied to study the long term returns of interest rates. Then under the existence of the stationary distribution, we provide a criterion to justify whether its stationary distribution is heavy-tailed or not.

研究动机与目标

• 建立带 regime-switching 的 CIR 过程中平稳分布存在性与唯一性的精确判据。
• 基于模型参数，研究此类过程的平稳分布是否为重尾或轻尾。
• 利用实证中观察到的重尾证据，为利率模型中的 regime-switching 提供理论依据。
• 扩展对带 regime-switching 的 CIR 过程长期行为与矩性质的理解。

提出的方法

• 作者使用由连续时间马氏链 $ \Lambda_t $ 和布朗运动 $ B_t $ 驱动的随机微分方程（SDE）描述的 regime-switching CIR 过程。
• 他们应用先前研究中的遍历性准则，建立正递归性并证明唯一平稳分布 $ \pi $ 的存在性。
• 一个关键参数 $ \kappa $，通过不变测度 $ \mu_i $ 与系数 $ a_i, b_i, \sigma_i $ 定义，决定了尾部行为。
• 分析过程通过在 $ r_t^p $ 上应用 Itô 公式推导矩估计，从而获得 $ \mathbb{E}[r_t^p] $ 的上界，并利用指数鞅估计控制矩的大小。
• 该方法依赖于随机分析与类似更新过程的论证技巧，灵感来自先前对带 regime-switching 的 Ornstein-Uhlenbeck 过程的研究。
• 一个关键技术步骤是通过比较 SDE 和不变测度控制 $ \mathbb{E}[r_t^{-1}] $，以确保对 $ p \in (0, \kappa) $ 的可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，带 regime-switching 的 CIR 过程存在唯一的平稳分布？
• RQ2 什么决定了平稳分布是重尾还是轻尾？
• RQ3 参数 $ a_{\min} = \min_i a_i $ 的符号如何影响平稳分布的尾部行为？
• RQ4 能否通过临界指数 $ \kappa $ 描述平稳分布的矩结构？
• RQ5 马氏切换过程的不变测度与利率分布的尾部特性之间存在何种关系？

主要发现

• 当 $ a_{\min} > 0 $ 时，平稳分布 $ \pi $ 为轻尾，满足 $ \int_{\mathbb{R}_+ \times \mathcal{S}} e^{\delta y} \, d\pi < \infty $ 对某个 $ \delta > 0 $ 成立。
• 当 $ a_{\min} < 0 $ 时，平稳分布为重尾：$ \int_{\mathbb{R}_+ \times \mathcal{S}} y^p \, d\pi < \infty $ 当且仅当 $ p \in (0, \kappa) $，且 $ \kappa > 1 $。
• 当 $ p \geq \kappa $ 时，平稳分布的 $ p $ 阶矩为无穷大，即 $ \int y^\kappa \, d\pi = \infty $。
• 临界指数 $ \kappa $ 通过不变测度 $ \mu_i $ 与系数 $ a_i, b_i, \sigma_i $ 定义，决定了矩有限性的阈值。
• 重尾的存在性与至少一个状态中存在负的均值回归相关，这在标准 CIR 模型中是不可能的。
• 结果为利率模型中的 regime-switching 提供了理论支持，解释了在收益率数据中观察到的实证重尾行为。