[论文解读] Henon mappings in the complex domain II: projective and inductive limits of polynomials

John H. Hubbard, Ralph W. Oberste-Vorth|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 1994

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用 75

一句话总结

本文研究了当多项式 $p$ 为双曲多项式且参数 $a$ 较小时，复 Hénon 映射的不变集（如 $K_+$, $J_+$, $K$, 和 $J$）的拓扑结构。通过使用由 $p$ 定义的动力系统之射影极限与归纳极限，将这些集合描述为拓扑极限，揭示了在特定条件下，Julia 集 $J$ 与吸引 basin 的边界表现出 Lakes of Wada 性质。

ABSTRACT

Let H: C^2 -> C^2 be the Henon mapping given by (x,y) --> (p(x) - ay,x). The key invariant subsets are K_+/-, the sets of points with bounded forward images, J_+/- = the boundary of K_+/-, J = the union of J_+ and J_-, and K = the union of K_+ and K_-. In this paper we identify the topological structure of these sets when p is hyperbolic and |a| is sufficiently small, ie, when H is a small perturbation of the polynomial p. The description involves projective and inductive limits of objects defined in terms of p alone.

研究动机与目标

• 研究复域中 Hénon 映射的不变集 $K_\pm$, $J_\pm$, $K$, 和 $J$ 的拓扑结构。
• 通过 Hénon 映射将双曲多项式动力系统的理论推广至多项式的小扰动情形。
• 通过射影极限与归纳极限构造双射动力系统，调和多项式非单射性与 Hénon 映射双射性之间的矛盾。
• 刻画吸引 basin 边界的结构，特别识别其形成 Lakes of Wada 的条件。
• 证明当双曲多项式满足 $|a|$ 较小时，Hénon 映射的不变集可作为仅由 $p$ 定义的系统的极限而出现。

提出的方法

• 构造射影极限 $\hat{\mathbb{C}}_p = \varprojlim(\mathbb{C}, p)$，其由 $p$ 的反向轨道构成，支持一个双射动力系统 $\hat{p}$。
• 通过提升映射 $f_{p,\alpha,R}$ 定义归纳极限 $\check{\mathbb{C}}_p = \varinjlim(J_p \times D, f_{p,\alpha,R})$，当 $p$ 为双曲多项式且 $|\alpha|$ 较小时，该构造保持单射性与开性。
• 利用归纳极限构造，建模 Hénon 映射中周期点的稳定流形，特别是吸引周期轨道的情形。
• 建立从归纳极限 $\check{\mathbb{R}}_p$ 到 $\mathbb{R}^2$ 中吸引 basin 可及边界的同胚映射 $\Phi_+$，将实动力系统与复 Hénon 结构联系起来。
• 应用逆极限与动力系统理论，证明当 $p$ 在 Mandelbrot 集中稠密时，吸引 basin 的边界在 $J_+ \cap \mathbb{R}^2$ 中稠密。
• 利用 Alexander 对偶性分析 $J_+ \cap \mathbb{R}^2$ 的单点紧化空间的上同调，将拓扑不变量与动力周期联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p$ 为双曲多项式且 $|a|$ 较小时，如何对 Hénon 映射的不变集 $K_\pm$, $J_\pm$, $K$, 和 $J$ 进行拓扑刻画？
• RQ2 能否通过极限构造调和多项式非单射性与 Hénon 映射双射动力性之间的矛盾？
• RQ3 在何种条件下，Hénon 映射中吸引 basin 的边界表现出 Lakes of Wada 性质？
• RQ4 归纳极限构造 $\check{\mathbb{C}}_p$ 如何建模 Hénon 映射中周期点的稳定流形结构？
• RQ5 哪些拓扑不变量可区分具有相同周期但不同 kneading 序列的吸引周期轨道的 Hénon 映射？

主要发现

• 射影极限 $\hat{\mathbb{C}}_p$ 构造了一个建模 $p$ 的反向轨道的双射动力系统，其中 $\hat{p}$ 作为序列前向移位作用于原像序列。
• 当 $p$ 为双曲多项式且 $|\alpha|$ 较小时，归纳极限 $\check{\mathbb{C}}_p = \varinjlim(J_p \times D, f_{p,\alpha,R})$ 是良定义的且为 Hausdorff 空间，原因在于 $J_p$ 中无临界点。
• 在 $\mathbb{R}^2$ 中，每个吸引 basin 的可及边界在 $J_+ \cap \mathbb{R}^2$ 中稠密，意味着所有 basin 共享同一边界。
• 当 $p$ 在 Mandelbrot 集中稠密时，$J_+ \cap \mathbb{R}^2$ 的单点紧化空间 $X_{p,a}$ 满足 $\check{H}^1(X_{p,a}, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}^k$，其中 $k$ 为吸引周期的周期。
• 归纳极限的构造导致 $\check{\mathbb{R}}_p$ 中出现类似分形的结构，其中弧线以反映 $p$ 的 kneading 序列的方式连接区间，暗示了相同周期但组合结构不同的映射之间存在拓扑差异。
• 本文证明，对于具有吸引 3-周期的实二次多项式，归纳极限构造产生类似 Lakes of Wada 的结构，其中多个 basin 共享同一边界。