[论文解读] Hermitian separability and transition from singlet to adjoint BFKL equations in $\mathcal{N}=4$ super Yang-Mills Theory

S. Bondarenko, Alex Prygarin|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 2被引用 7

一句话总结

本文提出在 $υ=4$ 超杨-米尔斯理论的伴随表示中，对 BFKL 方程的下一阶修正（NLO）本征值进行修改，通过将单态 NLO 本征值中的交错和替换为非交错和，恢复了厄米可分性。该修改基于从柱面拓扑到平面拓扑的拓扑跃迁，确保与重整化组条件一致，并解决了在 $\nu\to 0$，$n=0$ 时伴随表示 NNLO 本征值非零的问题，同时保持 BDS 幅值的余项函数不变。

ABSTRACT

We revisit the next-to-leading order~(NLO) correction to the eigenvalue of the BFKL equation in the adjoint representation and investigate its properties in analogy with the singlet BFKL in planar $\mathcal{N}=4$ super Yang-Mills Theory~(SYM). We show that the adjoint NLO BFKL eigenvalue is needed to be slightly modified in order to have a property of hermitian separability present for the singlet BFKL. After this modification the adjoint NLO BFKL eigenvalue is expressed through holomorphic and antiholomophic parts of the leading order eigenvalue and their derivatives. The proposed choice of the modified NLO expression is supported by the fact that it is possible to obtain the same result in a relatively straightforward way directly from the singlet NLO BFKL eigenvalue replacing alternating sums by non-alternating ones. This transformation corresponds to changing cylindrical topology of the singlet BFKL to the planar topology of the adjoint BFKL. We believe that the original NLO calculation of Fadin and Lipatov is correct and valid for the computations of the remainder function of the BDS amplitude. However, the notion of the adjoint BFKL eigenvalue is vaguely defined due to removal of the infrared divergences as well as redistributing NLO corrections between the kernel and impact factors, and is to be modified to comply with properties of the singlet BFKL equation. This, at first sight, a purely semantic difference may become important in resolving the issue of the non-vanishing adjoint NNLO eigenvalue in the limit of zero anomalous dimension $ν$ and conformal spin $n$, which contradicts the bootstrap condition of the BFKL equation.

研究动机与目标

• 解决伴随表示 NLO BFKL 本征值在 $\nu\to 0$，$n=0$ 极限下与重整化组条件不一致的问题，此时其值非零，与预期不符。
• 在伴随表示 NLO BFKL 本征值中恢复厄米可分性，该性质在单态情况下自然成立。
• 通过调整 $\psi$-函数，对原始 Fadin-Lipatov NLO 计算进行修正，使其与厄米可分性要求相容。
• 通过将求和中的 $(-1)^k$ 因子替换为 1，系统地建立从单态到伴随表示 NLO 本征值的映射，对应于从柱面拓扑到平面拓扑的转变。
• 通过考虑红外发散去除中的模糊性以及 NLO 修正在核函数与影响因子之间的再分配，提供伴随表示 BFKL 本征值的物理一致定义。

提出的方法

• 作者指出，单态 NLO BFKL 本征值中的交错和与柱面拓扑相关，而伴随表示情况对应于平面拓扑。
• 他们提出通过将伴随表示 NLO 本征值中的交错和替换为非交错和，并将 $\psi$-函数的参数移动 $1/2$，从而恢复厄米可分性。
• 该变换通过在对 $k$ 的求和中将 $(-1)^k$ 替换为 1 推导得出，从而将单态 NLO 本征值映射为修正后的伴随表示形式。
• 修正后的本征值仅以 leading-order 本征值的全纯与反全纯部分及其导数表示，确保了明显的厄米可分性。
• 该方法保持了 BDS 幅值的物理幅值与余项函数，验证了该修正仅为本征值的重新定义而非物理量的改变。
• 该方法的合理性在于：原始 Fadin-Lipatov 计算对余项函数仍然有效，但本征值概念因红外减法与修正再分配而存在模糊性。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何伴随表示 NLO BFKL 本征值在 $\nu\to 0$，$n=0$ 极限下不趋于零，与重整化组条件矛盾？
• RQ2 能否通过受控修正，在伴随表示中恢复单态 NLO BFKL 本征值中自然存在的厄米可分性？
• RQ3 单态与伴随表示 NLO 本征值中交错和与非交错和之间的差异，其物理与数学根源是什么？
• RQ4 是否存在系统性方法将单态 NLO 本征值映射到伴随表示形式？这对其拓扑与解析结构意味着什么？
• RQ5 NLO 修正在核函数与影响因子之间再分配的模糊性，是否可用于重新定义伴随表示本征值，使其满足厄米可分性，同时不改变物理可观测量？

主要发现

• 通过将交错和替换为非交错和，并将 $\psi$-函数参数移动 $1/2$，可对伴随表示 NLO BFKL 本征值进行修正，从而恢复厄米可分性。
• 该修正使本征值仅以 leading-order 本征值的全纯与反全纯部分及其导数表示。
• 从单态到伴随表示 NLO 本征值的变换，通过在对 $k$ 的求和中将 $(-1)^k$ 替换为 1 实现，对应于从柱面图到平面图的拓扑转变。
• 修正后的本征值保持了 BDS 幅值的物理幅值与余项函数，确认原始 Fadin-Lipatov 结果对物理预测仍然有效。
• 通过该重新定义，解决了在 $\nu\to 0$，$n=0$ 时伴随表示 NNLO 本征值非零的问题，使结果与重整化组条件相容。
• 作者认为，标准伴随表示 NLO 本征值因红外减法与修正再分配而存在模糊性，因此所提出的修正可作为物理上一致的重新定义。