[论文解读] HIGH DIMENSIONAL WILKS PHENOMENA IN RANDOM GRAPH MODELS

Ting Yan, Jinfeng Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2011

Random Matrices and Applications参考文献 28被引用 2

一句话总结

该论文在高维随机图模型中建立了似然比检验的威尔克斯型渐近卡方分布——具体为当顶点数趋于无穷大而每条边的试验次数保持固定时的埃拉多斯-雷尼（p-model）和布拉德利-特尔模型。关键贡献是将威尔克斯的经典结果推广至维度发散的随机图设定，通过模拟和真实数据应用得到验证。

ABSTRACT

In the classical parametric hypothesis testing problems, the asymptotical null distribution of minus twice log-likelihood ratio test converges to the chi-square distribution independent of redundant parameters due to Wilks (1938). This phenomena is not monopolized by fixed dimension problems. Several authors derived similar results for some models when both the sample size and the number of parameters go to infinity simultaneously. In this paper, we show Wilks type of theorems in simple random graph models, which are known as the �-model in the undirected case and the Bradley-Terry model in the directed case, when the number of graphic vertices goes to infinity and the number of statistical experiments for each edge is a fixed constant. Numerical studies and a data application are carried out to demonstrate the theoretical results.

研究动机与目标

• 研究威尔克斯现象——即似然比检验统计量渐近服从卡方分布——是否在高维随机图模型中成立。
• 考察当顶点数和参数个数均趋于无穷大，而每条边的实验试验次数保持不变时，似然比检验的行为。
• 将经典威尔克斯型结果从固定维数参数模型推广至维度不断增加的随机图模型。
• 通过数值模拟和真实数据应用验证理论发现。

提出的方法

• 在高维渐近设定下，分析p-model（无向随机图模型）和布拉德利-特尔模型（有向随机图模型）中的似然比检验统计量。
• 考虑顶点数 n → ∞ 且每条边的独立试验次数固定，导致参数个数发散的设定。
• 在原假设下推导对数似然比统计量的渐近分布，证明其收敛于卡方分布。
• 利用随机图的渐近理论，建立维度不断增加的模型中威尔克斯型性质。
• 通过数值模拟展示检验统计量收敛于卡方分布。
• 将方法应用于真实数据集，以说明其实际相关性与经验有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 威尔克斯现象——即似然比检验统计量收敛于卡方分布——是否在高维随机图模型中成立？
• RQ2 当顶点数趋于无穷大且每条边的试验次数固定时，对数似然比统计量的渐近分布如何表现？
• RQ3 在高维渐近设定下，经典威尔克斯定理能否推广至p-model和布拉德利-特尔模型？
• RQ4 这些模型在有限样本中似然比检验的实证表现如何？

主要发现

• 在原假设下，p-model和布拉德利-特尔模型中的似然比检验统计量渐近服从卡方分布，即使顶点数趋于无穷大。
• 尽管参数个数不断增加，只要每条边的试验次数保持固定，该统计量仍收敛于卡方分布。
• 数值研究证实，随着顶点数增加，有限样本中检验统计量的分布与卡方分布高度近似。
• 数据应用表明，理论结果可实际应用于真实网络数据。
• 研究结果将威尔克斯的经典定理从固定维数模型推广至维度发散的随机图模型。
• 理论框架支持在高维网络推断中使用似然比检验，并具备有效的渐近性质。