[论文解读] High Energy Solutions to $p(x)-$Laplacian Equations of Schrödinger type

Liu, Duchao, Wang, Xiaoyan+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文通过一族泛函和Fountain定理，证明了在$ℝ^N$中$p(x)$-Laplacian薛定谔型方程存在一列高能量解。通过引入关于非线性项的新假设以确保有界Palais-Smale序列，作者证明这些序列收敛于临界点，从而在变指数Sobolev空间框架下得到无穷多高能量解。

ABSTRACT

In this paper, we investigate nonlinear Schr$\ddot{o}$dinger type equations in $R^N$ under the framework of variable exponent spaces. We propose new assumptions on the nonlinear term to yield bounded Palais-Smale sequences and then prove the special sequences we find converge to critical points respectively. The main arguments are based on the geometry supplied by Fountain Theorem. Consequently, we show that the equation has a sequence of solutions with high energies.

研究动机与目标

• 在$ℝ^N$中建立$p(x)$-Laplacian薛定谔型方程存在无穷多高能量解的证明。
• 通过为非线性项$f(x,u)$引入新的结构假设，克服无界域中紧性缺失的问题。
• 确保与原始能量泛函相关的一族泛函存在有界Palais-Smale序列。
• 在变指数Sobolev空间中应用Fountain定理，识别对应于高能量解的临界值。
• 证明特殊Palais-Smale序列收敛于能量泛函$Φ$的实际临界点。

提出的方法

• 定义工作空间$E = \{u \in W^{1,p(x)}(\mathbb{R}^N) : \int_{\mathbb{R}^N} V(x)|u|^{p(x)}dx < \infty\}$，配备包含$|Du|^{p(x)}$和$V(x)|u|^{p(x)}$的范数。
• 构造一族参数为$\lambda \in [1,2]$的泛函$\Phi_{\lambda}(u)$，其中$\lambda$用于缩放非线性项$f(x,u)$。
• 利用Fountain定理框架，识别对应于高能量解的一系列临界值$c_k$。
• 为$f(x,u)$引入结构假设(C1)-(C4)，以保证$\Phi_{\lambda_n}$的任意$(PS)_{c_k}$序列有界。
• 证明$\Phi_{\lambda_n}$的有界$(PS)_{c_k}$序列（至多子列）强收敛于原始泛函$\Phi$的临界点。
• 应用Fatou引理和变指数空间中的紧嵌入定理，通过反证法处理弱极限消失的情形，确保非平凡收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种非线性项$f(x,u)$条件下，$p(x)$-Laplacian薛定谔方程在$ℝ^N$中存在一列高能量解？
• RQ2 在变指数空间中，如何为与$p(x)$-Laplacian方程相关的能量泛函构造有界Palais-Smale序列？
• RQ3 对$f(x,u)$的何种结构假设可确保一族泛函的Palais-Smale序列收敛于原始泛函的临界点？
• RQ4 Fountain定理能否在变指数Sobolev空间中有效应用，以获得无穷多高能量解？
• RQ5 满足条件$(V)$的势函数$V(x)$在恢复$E$到$L^{q(x)}(\mathbb{R}^N)$的嵌入紧性中起到何种作用？

主要发现

• 在$ℝ^N$中，方程$-\text{div}(|Du|^{p(x)-2}Du) + V(x)|u|^{p(x)-2}u = f(x,u)$存在一列解$\{u_n\}$，其能量趋于无穷。
• 在为$f(x,u)$引入新假设(C1)-(C4)的条件下，此类高能量解的存在性得以确立，这些假设可保证Palais-Smale序列有界。
• 与方程相关的泛函$\Phi$满足Fountain定理所需的几何条件，从而可识别临界值$c_k$。
• 对每个足够大的$k$，构造了一类特殊的有界$(PS)_{c_k}$序列$\{u^k(\lambda_n)\}$，并证明其强收敛于$\Phi$的临界点。
• 通过反证法确保收敛性，利用Fatou引理及$\lambda_n \in [1,2]$的性质，防止能量逃逸至无穷远。
• 当$V(x)$满足$(V)$：$V(x) \geq V_0 > 0$，且对所有$M > 0$，集合$\{x : V(x) \leq M\}$具有有限测度时，该结果成立，从而在变指数空间中实现紧嵌入。