[论文解读] High order steady-state diffusion approximation of the Erlang-C system

Anton Braverman, J. G. Dai|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文提出了一种针对 Erlang-C 系统的高阶稳态扩散近似方法，采用状态依赖的扩散系数，显著提升了收敛速度。所提出的近似方法在 Wasserstein 距离下的误差率为 $1/R$，比现有恒定扩散系数近似方法的 $1/\sqrt{R}$ 速率快一个数量级，该结果通过 Stein 方法的理论分析和在多种系统负载下的数值验证得到证实。

ABSTRACT

In this paper we introduce a new diffusion approximation for the steady-state customer count of the Erlang-C system. Unlike previous diffusion approximations, which use the steady-state distribution of a diffusion process with a constant diffusion coefficient, our approximation uses the steady-state distribution of a diffusion process with a extit{state-dependent} diffusion coefficient. We show, both analytically and numerically, that our new approximation is an order of magnitude better than its counterpart. To obtain the analytical results, we use Stein's to show that a variant of the Wasserstein distance between the normalized customer count distribution and our approximation vanishes at a rate of $1/R$, where $R$ is the offered load to the system. In contrast, the previous approximation only achieved a rate of $1/R$. We hope our results motivate others to consider diffusion approximations with state-dependent diffusion coefficients.

研究动机与目标

• 开发一种比现有方法更精确的 Erlang-C 排队系统稳态扩散近似方法。
• 提升稳态客户数量分布的扩散近似收敛速度。
• 证明状态依赖的扩散系数相比恒定扩散系数能提供更优的近似精度。
• 利用 Stein 方法建立理论收敛速率 $1/R$，优于先前工作的 $1/\sqrt{R}$ 速率。
• 在不同业务量和系统规模下，通过数值方法验证该近似的优越性。

提出的方法

• 提出一种新的扩散过程，漂移项为 $b(x) = \mu\left[(x+\zeta)^{-} + \zeta\right]$，状态依赖的扩散系数为 $a(x) = \mu\left[1 + \mathbf{1}_{x > -\sqrt{R}}\left(1 - \frac{(x+\zeta)^{-} + \zeta}{\sqrt{R}}\right)\right]$。
• 推导出该新扩散过程的稳态密度为 $\nu(x) = \frac{\kappa}{a(x)}\exp\left(\int_0^x \frac{2b(y)}{a(y)}dy\right)$，其中 $\kappa$ 确保归一化。
• 应用 Stein 方法，界定归一化客户数量 $\tilde{X}(\infty)$ 与新近似 $Y(\infty)$ 之间的 Wasserstein 距离。
• 使用具有 Lipschitz 连续一阶导数的函数类 $W_2$ 来定义 Wasserstein 范数，确保强收敛性保障。
• 建立 Wasserstein 距离的理论上界：$d_{W_2}(\tilde{X}(\infty), Y(\infty)) \leq C_{W_2}/R$。
• 通过 Kolmogorov-Smirnov 距离和 $L^\infty$ 距离，在多个系统参数下对概率质量函数（PMF）和累积分布函数（CDF）的近似进行数值比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有状态依赖扩散系数的扩散近似方法，是否能在 Erlang-C 系统中实现比现有恒定扩散系数方法更快的收敛速率？
• RQ2 该新型高阶扩散近似的理论收敛速率在业务量 $R$ 上如何表示？
• RQ3 优于 $1/R$ 的收敛速率是否在不同系统负载和规模下均体现为更优的数值性能？
• RQ4 与先前的 $1/\sqrt{R}$ 速率方法相比，新近似在估计稳态分布的 PMF 和 CDF 时表现如何？
• RQ5 尽管理论常数 $C_{W_2}$ 较大，该收敛速率的理论改进是否对小值 $R$ 依然稳健？

主要发现

• 所提出的高阶扩散近似在 Wasserstein 距离 $d_{W_2}$ 下实现了 $1/R$ 的收敛速率，比先前近似方法的 $1/\sqrt{R}$ 速率快一个数量级。
• 通过 Stein 方法的理论分析确认，归一化客户数量与新近似之间的 Wasserstein 距离以速率 $1/R$ 趋近于零，且通用常数 $C_{W_2}$ 独立于 $\lambda$、$n$ 和 $\mu$。
• 数值结果表明，新近似在估计 PMF 和 CDF 时始终优于先前的 $Y_0(\infty)$ 方法，最大误差在大 $R$ 情况下可降低两个数量级。
• 当 $R=99.98$ 时，PMF 近似中的 $L^\infty$ 误差降至 $1.34 \times 10^{-6}$，而先前方法的误差为 $4.71 \times 10^{-5}$。
• 随着 $R$ 从 99.98 增加到 99.98，新近似的 Kolmogorov-Smirnov 距离从 $1.31 \times 10^{-3}$ 降至 $9.93 \times 10^{-4}$，而先前方法的衰减速度更慢。
• 未缩放的均值近似误差也得到改善，其衰减速率为 $1/\sqrt{R}$，而先前方法仅保证恒定差距。