[论文解读] Higher categorified algebras versus bounded homotopy algebras

David Khudaverdyan, Ashis Kumar Mandal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文建立了李3-代数（通过高阶范畴结构定义的范畴化李代数）与特定度数下双线性及三线性括号为零的3-term李∞-代数之间的1对1对应关系。该研究通过证明埃伦伯格-齐尔伯映射在线性n-范畴中不保持张量结构，从而解决了范畴化同伦理论中的一个基础性问题，该问题阻碍了从归一化诺尔茨到链复形的直接链复形构造。

ABSTRACT

We define Lie 3-algebras and prove that these are in 1-to-1 correspondence with the 3-term Lie infinity algebras whose bilinear and trilinear maps vanish in degree (1,1) and in total degree 1, respectively. Further, we give an answer to a question of [Roy07] pertaining to the use of the nerve and normalization functors in the study of the relationship between categorified algebras and truncated sh algebras.

研究动机与目标

• 通过高阶线性范畴的范畴框架定义李3-代数。
• 证明李3-代数与在特定度数下双线性与三线性映射为零的3-term李∞-代数之间的1对1对应关系。
• 解决罗伊滕berg（2007）提出的问题：关于通过诺尔茨与归一化函子将范畴化代数与截断的sh代数联系起来时的使用问题。
• 将线性n-范畴的张量结构识别为通过埃伦伯格-齐尔伯映射构造链复形的障碍。

提出的方法

• 将李3-代数定义为带有额外代数结构的向量空间上的严格3-范畴。
• 利用多德-卡恩对应关系将单纯向量空间与非负整数分次链复形联系起来。
• 构造归一化诺尔茨函子N，将线性n-范畴转化为非负分次链复形。
• 应用埃伦伯格-齐尔伯映射EZ，将归一化诺尔茨的张量积与范畴积的诺尔茨联系起来。
• 分析埃伦伯格-齐尔伯映射因线性范畴上的乘积⊠不具有函子性而导致其与退化算子和面算子不交换的原因。
• 证明即使使用洛达-皮拉什维利张量积，乘积范畴的归一化也不等于归一化复形的张量积。

实验结果

研究问题

• RQ1 李3-代数的精确范畴定义是什么？它与李∞-代数之间有何关系？
• RQ2 在何种条件下，归一化函子能保持线性n-范畴的张量结构？
• RQ3 为何埃伦伯格-齐尔伯映射无法在范畴化代数的归一化诺尔茨之间诱导出链复形？
• RQ4 能否通过标准同调函子建立范畴化代数与有界sh代数之间的对应关系？
• RQ5 该对应关系的障碍是否本质上源于线性n-范畴的张量结构？

主要发现

• 李3-代数与在度数(1,1)处双线性映射和总度数为1处三线性映射为零的3-term李∞-代数之间存在1对1对应关系。
• 归一化诺尔茨函子N保持线性n-范畴的结构，并将其映射为非负分次链复形。
• 埃伦伯格-齐尔伯映射EZ是拟张量的，并在张量化归一化诺尔茨与乘积范畴的归一化诺尔茨之间提供链复形。
• 定义归一化诺尔茨乘积的映射ℓ_n无法与面算子和退化算子交换，表明存在根本性障碍。
• 该障碍的根源在于线性范畴上的乘积⊠不是函子，这种非函子性阻止了通过EZ构造链复形。
• 即使使用洛达-皮拉什维利张量积，等式N(L ⊠ L') = N(L) ⊗_LP N(L')也不成立，从而确认该障碍具有结构性本质。