[论文解读] Higher conformal variations and the Virasoro vertex operator algebra

Benjamin Doyon|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文为黎曼球面上共形映射空间上的泛函发展了一套变分法，使用向量场描述无穷小变化。结果表明，经泛函共轭后的高阶共形导数生成了维拉索罗顶点算子代数结构，将先前关于一阶导数与应力-能量张量的研究扩展至所有后代算符及多个插入项。

ABSTRACT

We develop a calculus of variations for functionals on certain spaces of conformal maps. Such a space Ω is composed of all maps that are conformal on domains containing a fix compact annular set of the Riemann sphere, and that are "sense-preserving". The calculus of variations is based on describing infinitesimal variations of such maps using vector fields. We show that derivatives of all orders with respect to such conformal maps, upon conjugation by an appropriate functional, give rise to the structure of the Virasoro vertex operator algebra. Our construction proceeds in three steps. We first put a natural topology on Ω and define smooth paths and an operation of differentiation to all orders ("conformal derivatives"). We then study certain second-order variational equations and their solutions. We finally show that such solutions give rise to representations of the Virasoro algebra in terms of conformal derivatives, from which follows constructions for the Virasoro vertex operator algebra. It turns out that series expansions of multiple covariant conformal derivatives are equal to products of multiple vertex operators. This paper extends a recent work by the author, where first-order conformal derivatives were associated with the stress-energy tensor of conformal field theory.

研究动机与目标

• 建立在包含固定紧致环形区域的定义域上、保持方向且共形的共形映射空间上的泛函变分法。
• 在上述映射的拓扑空间 Ω 上定义光滑路径及所有阶的可微性（共形导数）。
• 证明二阶变分方程的解通过共形导数生成维拉索罗代数的表示。
• 从这些表示构造维拉索罗顶点算子代数结构，并将其与共形场论中的关联函数联系起来。
• 将先前关于一阶共形导数与应力-能量张量的结果推广至所有后代算符及关联函数中的多重插入项。

提出的方法

• 在黎曼球面上包含固定紧致环形区域的定义域上，为保持方向的共形映射空间 Ω 引入自然拓扑。
• 在 Ω 中定义光滑路径，并利用向量场作为无穷小变化，发展所有阶共形导数的概念。
• 研究二阶共形微分方程及其解，特别是与共形高斯分布相关的解。
• 通过共形导数构造维拉索罗代数的表示，其中维拉索罗生成元以泛函上的微分算子形式实现。
• 通过证明多重协变共形导数对应于顶点算子代数结构中的顶点算子乘积，建立顶点算子代数结构。
• 通过共形沃德恒等式与泛函共轭，将构造与共形场论中的应力-能量张量及其后代算符联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有指定拓扑与解析约束的共形映射空间上发展泛函的变分法？
• RQ2 作用于共形映射泛函的高阶共形导数所生成的代数结构是什么？
• RQ3 二阶共形微分方程的解如何与维拉索罗代数的表示相关联？
• RQ4 在顶点算子代数中，多重协变共形导数以何种方式对应于顶点算子的乘积？
• RQ5 该构造能否推广至将应力-能量张量的所有后代算符识别为共形循环系综（CLE）中的随机变量？

主要发现

• 包含固定紧致环形区域的保持方向共形映射空间 Ω 被赋予自然拓扑，从而可定义光滑路径及所有阶的共形导数。
• 二阶共形微分方程的解通过共形导数生成维拉索罗代数的表示，其生成元以微分算子形式实现于泛函之上。
• 泛函的多重协变共形导数恰好对应于顶点算子代数结构中的多重顶点算子乘积。
• 维拉索罗顶点算子代数结构由此类表示构造而成，其中共形向量 ω 通过应力-能量张量及其后代算符实现。
• 该构造将先前关于一阶共形导数与应力-能量张量的结果推广至所有后代算符及关联函数中的多重插入项。
• 该框架为在共形循环系综（CLE）中识别完整的顶点算子代数结构提供了途径，使得可通过代数方法从 CLE 重建共形场论。