[论文解读] Higher dimensional Zariski decompositions

Sébastien Boucksom|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 16

一句话总结

本文通过使用具有最小奇点的当前（currents），在紧致复 $n$-流形上对实伪有效 $(1,1)$-类引入了除子型 Zariski 分解，将负部分 $N(\alpha)$ 定义为一个例外的有效 $\mathbf{R}$-除子，正部分 $Z(\alpha)$ 属于修正的 nef 锥。其关键贡献是建立了一个典范的、正交的分解 $\alpha = Z(\alpha) + \{N(\alpha)\}$，该分解将经典 Zariski 分解推广至高维情形与超凯勒流形，通过体积计算证明了在曲面上的有理性与在 3-流形中的无理性的存在。

ABSTRACT

Using currents with minimal singularities, we construct pointwise minimal multiplicities for a real pseudo-effective $(1,1)$-class $α$ on a compact complex $n$-fold $X$, which are the local obstructions to the numerical effectivity of $α$. The negative part of $α$ is then defined as the real effective divisor $N(α)$ whose multiplicity along a prime divisor $D$ is just the generic multiplicity of $α$ along $D$, and we get in that way a divisorial Zariski decomposition of $α$ into the sum of a class $Z(α)$ which is nef in codimension 1 and the class of its negative part $N(α)$, which is exceptional in the sense that it is very rigidly embedded in $X$. The positive parts $Z(α)$ generate a modified nef cone, and the pseudo-effective cone is shown to be locally polyhedral away from the modified nef cone, with extremal rays generated by exceptional divisors. We then treat the case of a surface and a hyper-Kähler manifold in some detail: under the intersection form (resp. the Beauville-Bogomolov form), we characterize the modified nef cone and the exceptional divisors; our divisorial Zariski decomposition is orthogonal, and is thus a rational decomposition, which fact accounts for the usual existence statement of a Zariski decomposition on a projective surface, which is thus extended to the hyper-Kähler case. Finally, we explain how the divisorial Zariski decomposition of (the first Chern class of) a big line bundle on a projective manifold can be characterized in terms of the asymptotics of the linear series $|kL|$ as $k o\infty$.

研究动机与目标

• 将 Zariski 的经典分解从曲面推广至高维紧致复流形。
• 利用当前的最小奇点，为实伪有效 $(1,1)$-类定义一个典范的除子型 Zariski 分解。
• 通过超凯勒流形上的 Beauville-Bogomolov 型形式刻画修正的 nef 锥并识别例外除子。
• 证明 Zariski 分解是正交的且在曲面上为有理的，但在 3-流形中可能为无理的，其对线性系统 $|kL|$ 的体积渐近行为具有影响。

提出的方法

• 通过使用具有最小奇点的当前，在点 $x \in X$ 处构造最小多重性 $\nu(\alpha,x)$，以度量局部对数值有效性之阻碍。
• 在素除子 $D$ 上定义负部分 $N(\alpha) = \sum \nu(\alpha,D)D$，其为一个有效 $\mathbf{R}$-除子且在嵌入中为例外。
• 定义 Zariski 投影 $Z(\alpha) = \alpha - \{N(\alpha)\/}$，其属于 $X$ 的修正 nef 锥，该锥定义为在变换下 Kähler 类的像的闭包。
• 利用具有最小奇点的正当前的 Siu 分解，当 $\alpha$ 为大类时实现除子型 Zariski 分解。
• 在超凯勒流形上，利用 Beauville-Bogomolov 型形式将修正的 nef 锥刻画为伪有效锥的对偶。
• 通过正部分 $p$ 的非 Kähler 套路建立识别除子型 Zariski 分解的标准。

实验结果

研究问题

• RQ1 Zariski 的经典曲面分解能否推广至高维紧致复流形？
• RQ2 在高维中，负部分 $N(\alpha)$ 的几何与上同调意义为何？其如何被刻画？
• RQ3 在高维中，修正的 nef 锥与伪有效锥的关系为何？其结构如何？
• RQ4 除子型 Zariski 分解在高维情形（特别是超凯勒流形上）是否正交且有理？
• RQ5 该分解对线性系统 $|kL|$ 的渐近行为及大线丛的体积有何影响？

主要发现

• 在射影曲面上，除子型 Zariski 分解 $\alpha = Z(\alpha) + \{N(\alpha)\}$ 是典范且正交的，其中 $Z(\alpha)$ 为 nef，$N(\alpha)$ 为有效除子且其交点矩阵为负定。
• 在超凯勒流形上，该分解关于 Beauville-Bogomolov 型形式是正交的，且例外除子恰好为自交为负的那些。
• 修正的 nef 锥是双有理 Kähler 锥的闭包，且在超凯勒流形上与伪有效锥对偶。
• Zariski 投影 $Z$ 将伪有效锥映射到修正的 nef 锥，其纤维为例外族生成的可数个单形锥的并。
• 在 3-流形上，大线丛的体积可以是无理数，通过显式计算 $v(L) = Z(L)^3$ 为 $\mu_L$ 的三次多项式，当 $H$ 与 $D$ 在阿贝尔曲面上一般时，$\mu_L$ 为无理数。
• 线性系统 $|kL|$ 的渐近行为由除子型 Zariski 分解刻画，当 $L$ 为大类时，有 $H^0(kL) \cong H^0(kZ(L))$。