[论文解读] Higher equivariant and invariant topological complexity

Marzieh Bayeh, Soumen Sarkar|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文将高阶等变与不变拓扑复杂度作为等变与不变拓扑复杂度的推广，将法伯的拓扑复杂度扩展至具有多个输入点的群作用情形。本文建立了这些不变量的上下界，并计算了其在时刻角复形上的取值，表明高阶等变拓扑复杂度受等变LS-范畴的上界控制，且给出了涉及底层单纯复形最大单体的显式公式。

ABSTRACT

In this paper we introduce the concepts of higher equivariant and invariant topological complexity; and study their properties. Then we compare them with equivariant LS-category. We give lower and upper bounds for these new invariants. We compute some of these invariants for moment angle complexes.

研究动机与目标

• 将拓扑复杂度推广至具有多个输入点的群等变设置。
• 在群作用下定义并研究高阶等变与不变拓扑复杂度作为不变量。
• 将这些新不变量与等变LS-范畴进行比较，并建立上下界。
• 计算由单纯复形导出的时刻角复形的这些不变量。
• 将这些不变量与代数不变量（如Stanley-Reisner环和零除子上积长度）联系起来。

提出的方法

• 通过紧致群G在X×X上的对角作用引入高阶等变拓扑复杂度。
• 通过G×G在X×X上的乘积作用定义高阶不变拓扑复杂度。
• 利用轨道类与轨道图分析群作用的结构，并对轨道类型进行分类。
• 应用G-同伦与G-可缩性的概念，定义G-范畴子集并计算等变范畴。
• 在较弱假设下应用等变LS-范畴的乘积公式，推导出上下界。
• 通过分析其分解为多面体积及其与最大单体和Stanley-Reisner环的关系，计算时刻角复形的不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将拓扑复杂度推广以包含群作用与运动规划中多个输入点的情形？
• RQ2 高阶等变拓扑复杂度、高阶不变拓扑复杂度与等变LS-范畴之间存在何种关系？
• RQ3 在何种条件下高阶不变拓扑复杂度为有限？在何种条件下为无限？
• RQ4 对于时刻角复形，高阶等变与不变拓扑复杂度的行为如何？
• RQ5 哪些代数不变量（如零除子上积长度）可用于界定或计算这些拓扑不变量？

主要发现

• 对于G-空间X，其高阶等变拓扑复杂度受X的等变LS-范畴的上界控制，尤其当X为T^m-连通时成立。
• 对于时刻角复形Z_K，有cat_{T^m}(Z_K)等于单纯复形K中最大单体的个数。
• 若空间包含多于一个极小轨道类，则高阶不变拓扑复杂度为无穷大。
• 高阶等变拓扑复杂度TC_{T^m,2}(Z_K)的下界为零除子上积长度ZCL(K)，上界为∑_{i,j=1}^s (k_{ij}+1)，其中k_{ij} = |([m]−σ_i) ∩ ([m]−σ_j)|。
• 时刻角复形Z_K是T^m-连通的，这支持了通过乘积作用对TC_{T^m,2}(Z_K)建立上界。