[论文解读] Higher jet prolongation Lie algebras and Backlund transformations for (1+1)-dimensional PDEs

С.А. Игонин|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2012

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文为 (1+1) 维演化 PDE 引入了更高阶喷射延拓李代数 $\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a)$，将 Wahlquist-Estabrook 代数推广至任意喷射阶数。证明了任意零曲率表示在局部上微分同构于 $\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a)$ 的向量场表示，并证明了投影 $\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a) \to \mathbf{F}^{p-1}(\mathcal{E},a)$ 的核位于中心，从而推出投影链中核的幂零性。该结果为 PDE 之间 Bäcklund 变换的存在提供了必要条件。

ABSTRACT

For any (1+1)-dimensional (multicomponent) evolution PDE, we define a sequence of Lie algebras $F^p$, $p=0,1,2,3,...$, which are responsible for all Lax pairs and zero-curvature representations (ZCRs) of this PDE. In our construction, jets of arbitrary order are allowed. In the case of lower order jets, the algebras $F^p$ generalize Wahlquist-Estabrook prolongation algebras. To achieve this, we find a normal form for (nonlinear) ZCRs with respect to the action of the group of gauge transformations. One shows that any ZCR is locally gauge equivalent to the ZCR arising from a vector field representation of the algebra $F^p$, where $p$ is the order of jets involved in the $x$-part of the ZCR. More precisely, we define a Lie algebra $F^p$ for each nonnegative integer $p$ and each point $a$ of the infinite prolongation $E$ of the evolution PDE. So the full notation for the algebra is $F^p(E,a)$. Using these algebras, one obtains a necessary condition for two given evolution PDEs to be connected by a Backlund transformation. In this paper, the algebras $F^p(E,a)$ are computed for some PDEs of KdV type. In a different paper with G. Manno, we compute $F^p(E,a)$ for multicomponent Landau-Lifshitz systems of Golubchik and Sokolov. Among the obtained Lie algebras, one encounters infinite-dimensional algebras of certain matrix-valued functions on some algebraic curves. Besides, some solvable ideals and semisimple Lie algebras appear in the description of $F^p(E,a)$. Applications to classification of KdV and Krichever-Novikov type equations with respect to Backlund transformations are also briefly discussed.

研究动机与目标

• 将 Wahlquist-Estabrook 延拓方法推广至 (1+1) 维演化 PDE 的任意喷射阶数。
• 在 PDE 的无限延拓 $\mathcal{E}$ 的每一点 $a$ 处定义一列李代数 $\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a)$，以捕捉至阶 $p$ 的所有 Lax 对与零曲率表示（ZCR）。
• 证明任意 ZCR 局部微分同构于 $\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a)$ 的表示，从而为 ZCR 提供规范标准形。
• 建立 $\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a)$ 的结构性质，包括投影 $\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a) \to \mathbf{F}^{p-1}(\mathcal{E},a)$ 的核位于 $\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a)$ 的中心。
• 将该框架应用于分类 KdV 型与 Krichever-Novikov 型方程在 Bäcklund 变换下的关系。

提出的方法

• 为每个非负整数 $p$ 及 (1+1) 维演化 PDE 的无限延拓 $\mathcal{E}$ 中的每一点 $a$ 定义李代数 $\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a)$。
• 利用规范变换将任意 ZCR 化为标准形，证明每个 ZCR 局部微分同构于 $\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a)$ 的向量场表示。
• 构造同态 $\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a) \to \mathbf{F}^{p-1}(\mathcal{E},a)$ 并分析其核，证明 $\text{ker}(\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a) \to \mathbf{F}^{p-1}(\mathcal{E},a))$ 包含于 $\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a)$ 的中心。
• 利用归纳法证明复合映射 $\mathbf{F}^k(\mathcal{E},a) \to \mathbf{F}^0(\mathcal{E},a)$ 的核是幂零的，基于低阶核的中心性。
• 计算 KdV 型方程与多分量 Landau-Lifshitz 系统的 $\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a)$，揭示其在代数曲线上具有无限维子代数、可解理想与半单子代数。
• 将该框架应用于推导两个演化 PDE 通过 Bäcklund 变换关联的必要条件，通过比较其 $\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a)$ 代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过喷射延拓系统地分类 (1+1) 维演化 PDE 的所有零曲率表示（ZCR），包括非线性情形？
• RQ2 规范变换在 ZCR 标准化中的作用是什么？如何利用它定义 ZCR 的规范形式？
• RQ3 李代数 $\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a)$ 如何与两个演化 PDE 之间 Bäcklund 变换的存在相关联？
• RQ4 对于 KdV 型方程等特定 PDE，$\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a)$ 中涌现出的结构性质（如中心性、幂零性、半单性）是什么？
• RQ5 $\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a)$ 代数能否在统一框架下检测不同喷射阶数下的可积性结构（如 Lax 对与 ZCR）？

主要发现

• 任意 (1+1) 维演化 PDE 的零曲率表示在局部上微分同构于李代数 $\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a)$ 的表示，其中 $p$ 为 ZCR 中 $x$-部分的喷射阶数。
• 投影 $\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a) \to \mathbf{F}^{p-1}(\mathcal{E},a)$ 的核包含于 $\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a)$ 的中心，这是一个推广早期 Wahlquist-Estabrook 方法发现的结构性结果。
• 复合映射 $\mathbf{F}^k(\mathcal{E},a) \to \mathbf{F}^0(\mathcal{E},a)$ 的核是幂零的，其根源在于连续核像的中心性，表明 ZCR 受到强烈的代数约束。
• 对于 KdV 型方程，代数 $\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a)$ 包含在代数曲线上取值的矩阵函数的无限维子代数，揭示了深层的几何结构。
• 多分量 Landau-Lifshitz 系统的 $\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a)$ 代数包含可解理想与半单李代数，反映了这些系统的可积性层次。
• 该框架为两个演化 PDE 通过 Bäcklund 变换关联提供了必要条件：其各自的 $\mathbf{F}^p(\mathcal{E},a)$ 代数必须在投影链与核条件的约束下相容。