[论文解读] Higher-Order Lagrangian Formalism on Grassmann Manifolds

D. R. Grigore|ArXiv.org|Sep 1, 1997

Dynamics and Control of Mechanical Systems参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文在非纤维化配置空间的Grassmann流形上发展了高阶Lagrangian形式体系，引入了Lagrangian、Euler-Lagrange与Helmholtz-Sonin形式的齐次与非齐次版本。结果表明，变分平凡性与局部变分性条件在结构上与纤维化情形保持一致，通过微分群商结构将经典场论形式体系推广至一般几何设定。

ABSTRACT

The Lagrangian formalism on a arbitrary non-fibrating manifold is considered. The kinematical description of this generic situation is based on the concept of (higher-order) Grassmann manifolds which is the factorization of the regular velocity manifold to the action of the differential group. Here we introduce in this context the basic concepts of the Lagrangian formalism as Lagrange, Euler-Lagrange and Helmholtz-Sonin forms. These objects come in pairs, namely we have homogeneous objects (defined on the regular velocity manifold) and non-homogeneous objects (defined on the Grassmann manifold). We will establish the connection between the homogeneous objects and their non-homogeneous counterparts. As a result we will conclude that the generic expressions for a variationally trivial Lagrangian and for a locally variational differential equation remain the same as in the fibrating case.

研究动机与目标

• 将高阶Lagrangian形式体系推广至标准形式失效的非纤维化流形。
• 解决在任意非纤维化配置空间上机械系统的运动学描述问题。
• 基于常规速度流形及其商Grassmann流形，定义Lagrangian、Euler-Lagrange与Helmholtz-Sonin形式。
• 建立齐次形式（在速度流形上）与非齐次形式（在Grassmann流形上）之间的对应关系。
• 证明变分平凡Lagrangian与局部变分微分方程的通用形式在非纤维化情形下与纤维化情形保持不变。

提出的方法

• 利用微分群作用下常规速度流形的商结构，引入高阶Grassmann流形的概念。
• 在常规速度流形上定义齐次Lagrangian形式，在Grassmann流形上定义非齐次形式。
• 通过变分原理，在齐次与非齐次设定下推导Euler-Lagrange方程。
• 构造Helmholtz-Sonin形式，以刻画非纤维化情形下的局部变分性。
• 精确建立所有基本Lagrangian对象的齐次与非齐次版本之间的对应关系。
• 将该形式体系应用于分析变分条件在几何推广下的结构不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将高阶Lagrangian形式体系一致地推广至非纤维化配置流形？
• RQ2 定义在常规速度流形上的Lagrangian对象与其在Grassmann流形上的对应物之间存在何种精确关系？
• RQ3 在非纤维化情形下，Lagrangian变分平凡的条件是否在结构上与纤维化情形保持一致？
• RQ4 对于高阶系统，Euler-Lagrange与Helmholtz-Sonin形式能否在Grassmann流形上一致定义？
• RQ5 在缺乏纤维化结构的情况下，变分条件的不变性由何种几何结构所支撑？

主要发现

• 与纤维化情形相比，变分平凡Lagrangian的通用形式在非纤维化情形下保持不变。
• 微分方程为局部变分的条件在结构上与纤维化情形下的表达式完全一致。
• 齐次形式与非齐次形式之间的对应关系已完全刻画，且在微分群商化下保持了变分结构。
• Grassmann流形上的Euler-Lagrange与Helmholtz-Sonin形式定义良好，且与它们的齐次对应形式精确对应。
• 该形式体系成功地将高阶Lagrangian力学推广至任意非纤维化流形，且未损失变分结构。
• 结果证实，经典场论的基本变分原理在超越纤维化的几何推广下依然具有鲁棒性。