[论文解读] Higher Order Normalizations in the Generalized Photogravitational Restricted Three Body Problem with Poynting-Robertson Drag

Badam Singh Kushvah, J.P. Sharma+1 more|ArXiv.org|Sep 29, 2007

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文在广义的光致引力限制性三体问题中进行了高阶归一化，结合了主星的辐射压、伴星的扁率以及Poynting-Robertson拖曳力，利用Whittaker的二阶归一化方法和Henrard的双重D’Alembert级数方法，推导出受辐射、扁率和P-R拖曳影响的一阶与二阶分量，并证明在作用量-角度变量下，三阶哈密顿量部分 $H_3$ 恒为零。

ABSTRACT

Higher order normalizations are performed in the generalized photogravitational restricted three body problem with Poynting-Robertson drag. In this problem we have taken bigger primary as a source of radiation and smaller primary as an oblate spheroid. Whittaker method is used to transform the second order part of the Hamiltonian into the normal form. We have also performed Birkhoff's normalization of the Hamiltonian. For this we have tilized Henrard's method and expanded the coordinates of the infinitesimal body in double D'Alembert series. We have found the values of first and second order components. They are affected by radiation pressure, oblateness and P-R drag. Finally we obtained the third order part of the Hamiltonian zero. Keywords:Higher Order Normalization, Generalized Photogravitational, RTBP,P-R drag

研究动机与目标

• 将经典限制性三体问题扩展，纳入主星的辐射压、Poynting-Robertson拖曳力以及伴星的扁率影响。
• 研究在这些联合摄动下三角拉格朗日点的非线性稳定性。
• 对哈密顿系统进行高阶归一化，以分析平衡点附近的长期轨道行为。
• 确定辐射压、扁率与P-R拖曳对归一化哈密顿量一阶与二阶分量的影响。
• 验证三阶哈密顿量部分是否为零，这对KAM稳定性分析至关重要。

提出的方法

• 应用Whittaker方法将哈密顿量的二阶部分转化为正规形式，得到 $H_2 = \omega_1 I_1 - \omega_2 I_2$。
• 采用Henrard方法进行Birkhoff归一化，将无穷小质点的坐标展开为双重D’Alembert级数。
• 利用KAM定理的第一条件，求解一阶与二阶分量的两个偏微分方程。
• 在归一化过程中引入辐射压 ($q_1$)、扁率 ($A_2$) 和Poynting-Robertson拖曳力 ($W_1$) 的摄动。
• 将归一化分量 $G_1, G_2, G_3, G_4$ 及其带单撇与双撇的变体表示为 $\epsilon$, $A_2$, $nW_1$ 和 $\gamma$ 的函数。
• 验证三阶哈密顿量部分 $H_3$ 在 $I_1^{1/2}, I_2^{1/2}$ 变量下恒为零，且与摄动参数无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 辐射压、Poynting-Robertson拖曳力与扁率如何影响广义光致引力限制性三体问题中哈密顿量的归一化？
• RQ2 在这些摄动下，归一化哈密顿量的一阶与二阶分量的显式表达式是什么？
• RQ3 在辐射、扁率与P-R拖曳的联合效应下，哈密顿量的三阶部分是否为零？
• RQ4 KAM条件在该摄动系统中三角平衡点处的适用程度如何？
• RQ5 Whittaker与Henrard方法能否系统地应用于此扩展的RTBP模型进行高阶归一化？

主要发现

• 利用Whittaker方法，成功将二阶哈密顿量 $H_2$ 转化为正规形式 $H_2 = \omega_1 I_1 - \omega_2 I_2$。
• 归一化的一阶与二阶分量被显式推导，且其结果依赖于辐射压 ($q_1$)、扁率 ($A_2$) 与Poynting-Robertson拖曳力 ($W_1$)。
• 三阶哈密顿量部分 $H_3$ 在作用量-角度变量 $I_1^{1/2}, I_2^{1/2}$ 下恒为零，证实该阶次不存在长期项。
• 对所有系数 $A_{3,0}, A_{2,1}, A_{1,2}, A_{0,3}$ 独立验证了 $H_3$ 的消失，与Deprit和Deprit Bartholomé (1967) 的结果一致。
• 归一化过程表明，系统在平衡点附近的动力学不包含三阶共振项，支持基于KAM理论的非线性稳定性。
• 推导出的 $G_i, G_i', G_i''$（$i=1$ 至 $4$）的表达式明确显示了其对 $\epsilon$, $A_2$, $nW_1$ 与 $\gamma$ 的依赖关系，从而量化了摄动的影响。