[论文解读] Higher-Order Topology of Three-Dimensional Strong Stiefel-Whitney Insulators

Junyeong Ahn, Bohm‐Jung Yang|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2018

Topological Materials and Phenomena被引用 3

一句话总结

本文证明了第二施蒂费尔-惠特尼数——一种由 $C_{2z}T$ 对称性共同保护的二维拓扑不变量——可对三维拓扑绝缘体中 $C_{2z}T$ 矩阵表示的第二同伦类进行分类。研究证明，此前由方与傅提出的三维强施蒂费尔-惠特尼绝缘体表现出量子化的磁电极化率，从而同时出现手性 hinge 模式与二维表面狄拉克费米子，统一了第一类与第二类拓扑特征。

ABSTRACT

We study the homotopy classification of symmetry representations to describe the bulk topological invariants protected by the combined operation of a two-fold rotation $C_{2z}$ and time-reversal $T$ symmetries. We define topological invariants as obstructions to having smooth Bloch wave functions compatible with a momentum-independent symmetry representation. When the Bloch wave functions are required to be smooth, the information on the band topology is contained in the symmetry representation. This implies that the $d$-dimensional homotopy class of the unitary matrix representation of the symmetry operator corresponds to the $d$-dimensional topological invariants. Here, we prove that the second Stiefel-Whitney number, a two-dimensional topological invariant protected by $C_{2z}T$, is the homotopy invariant that characterizes the second homotopy class of the matrix representation of $C_{2z}T$. As an application of our result, we show that the three-dimensional bulk topological invariant for the $C_{2z}T$-protected topological crystalline insulator proposed by C. Fang and L. Fu in Phys. Rev. B 91, 161105(R) (2015), which we call the 3D strong Stiefel Whitney insulator, is identical to the quantized magnetoelectric polarizability. The bulk-boundary correspondence associated with the quantized magnetoelectric polarizability shows that the 3D strong Stiefel-Whitney insulator has chiral hinges states as well as 2D massless surface Dirac fermions. This shows that the 3D strong Stiefel Whitney insulator has the characteristics of both the first order and the second order topological insulators, simultaneously, which is consistent with the recent classification of higher-order topological insulators protected by an order-two symmetry.

研究动机与目标

• 对受 $C_{2z}T$ 对称性保护的三维拓扑晶界绝缘体的体态拓扑不变量进行分类。
• 建立基于对称性表示光滑性的同伦理论框架，以对拓扑不变量进行分类。
• 识别表征三维强施蒂费尔-惠特尼绝缘体相的拓扑不变量。
• 通过手性 hinge 模式与表面狄拉克态的出现，证明该不变量的体-边界对应关系。

提出的方法

• 利用对称性表示的同伦分类，作者分析了在 $C_{2z}T$ 对称性下实现光滑布洛赫波函数的障碍。
• 他们将拓扑不变量定义为与动量无关的对称性表示的障碍，将其与 $C_{2z}T$ 矩阵表示的单位矩阵表示的同伦类联系起来。
• 识别出第二施蒂费尔-惠特尼数为 $C_{2z}T$ 矩阵表示的第二同伦类所对应的拓扑不变量。
• 作者通过对称性与拓扑论证，推导出体态不变量与量子化磁电极化率之间的对应关系。
• 他们将该分类方法应用于方与傅（2015年）提出的三维强施蒂费尔-惠特尼绝缘体模型，确认了其拓扑性质。
• 通过证明手性 hinge 模式与二维表面狄拉克费米子同时存在，验证了体-边界对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $C_{2z}T$ 对称性保护下，表征三维强施蒂费尔-惠特尼绝缘体的拓扑不变量是什么？
• RQ2 第二施蒂费尔-惠特尼数如何与 $C_{2z}T$ 矩阵表示的同伦类相关联？
• RQ3 强施蒂费尔-惠特尼绝缘体的三维体态不变量是否等价于量子化磁电极化率？
• RQ4 在 $C_{2z}T$ 对称性下，该体态不变量预测的表面态与 hinge 态是什么？
• RQ5 该体系如何同时实现第一类与第二类拓扑特征？

主要发现

• 证明了第二施蒂费尔-惠特尼数是表征 $C_{2z}T$ 矩阵表示第二同伦类的同伦不变量。
• 表明三维强施蒂费尔-惠特尼绝缘体的体态不变量等价于量子化磁电极化率。
• 该体系表现出手性 hinge 态，表明其具有第二类拓扑行为。
• 该体系包含二维无质量表面狄拉克费米子，表明其具有第一类拓扑特征。
• hinge 态与表面态的共存，证实该体系为兼具第一类与第二类特征的高阶拓扑绝缘体。
• 该分类与近期关于受二阶对称性保护的高阶拓扑绝缘体的理论框架一致。