[論文レビュー] Higher rank graph C*-algebras

Alex Kumjian, David Pask|ArXiv.org|Jul 5, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用数 273

ひとこと要約

本稿は、部分等長作用素が要因分解およびCuntz-Krieger型関係を満たすことで生成される普遍的C*-代数として、高ランクグラフC*-代数を導入し、グラフC*-代数の一般化を提示する。主な貢献は、関連するパス群ガロアC*-代数と高ランクグラフC*-代数との同型を確立したことであり、これによりこの新しい設定において単純性、純粋無限性、および交叉積を解析するための群ガロア技法の適用が可能になる。

ABSTRACT

Building on recent work of Robertson and Steger, we associate a C*-algebra to a combinatorial object which may be thought of as a higher rank graph. This C*-algebra is shown to be isomorphic to that of the associated path groupoid. Sufficient conditions on the higher rank graph are found for the associated C*-algebra to be simple, purely infinite and AF. Results concerning the structure of crossed products by certain natural actions of discrete groups are obtained; a technique for constructing rank 2 graphs from ``commuting'' rank 1 graphs is given.

研究の動機と目的

• 高ランクグラフをN^kへの度数写像を伴う組合せ的圏枠組みとして一般化し、グラフC*-代数を高ランクグラフに拡張すること。
• 部分等長作用素が要因分解およびCuntz-Krieger関係を満たすことで生成される普遍的C*-代数として、高ランクグラフに付随するC*-代数を定義すること。
• 高ランクグラフC*-代数とその関連パス群ガロアのC*-代数との同型を確立すること。
• 非周期性とゲージ作用を用いて、C*-代数が単純、純粋無限、またはAFである条件を特徴づけること。
• 可換な1-グラフから2-グラフを構成し、スケイプ積および交叉積を用いてそのC*-代数を解析すること。

提案手法

• 高ランクグラフを、度数写像d:Λ→N^kを備えた小さな圏Λとして定義し、有向グラフの一般化とする。
• Λの無限パス空間からパス群ガロアG_Λを構成し、有向グラフのパス群ガロアと類似する。
• ゲージ作用に対して不変で、生成子上で非零であるホモモーティズムが忠実であることを保証するゲージ不変性独自性定理を証明する。
• Λ内のパスの非周期性条件を用いて、パス群ガロアが本質的に自由であることを特徴づけ、Cuntz-Kriegerのそれと類似する独自性定理を導く。
• 離散群Gに対する関手c:Λ→Gからスケイプ積k-グラフG×_cΛを構成し、C*(Λ)⋊_α^cĜがC*(G×_cΛ)に同型であることを示す。
• 2-グラフを2つの1-グラフAとBの間で可換な頂点行列を持つものとして、写像θ:A¹×B¹→B¹×A¹を用いて要因分解則を定義し、A*θBとして2-グラフA*θBを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高ランクグラフのC*-代数が単純であるのはどのような条件下か？
• RQ2 高ランクグラフのC*-代数が純粋無限であるのはどのような条件下か？
• RQ3 ゲージ不変性独自性定理は、C*(Λ)とC*(G_Λ)との同型を証明するためにどのように応用可能か？
• RQ4 群作用の下での高ランクグラフC*-代数の交叉積の構造は何か？また、スケイプ積グラフとはどのように関係するか？
• RQ5 2つの可換な1-グラフから2-グラフをどのように構成できるか？そのC*-代数にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 高ランクグラフΛに付随するC*-代数C*(Λ)は、ゲージ不変性独自性定理を介して、そのパス群ガロアG_Λの群ガロアC*-代数C*(G_Λ)に同型である。
• T^k上のゲージ作用はα_t(s_λ) = t^{d(λ)} s_λとして実装され、この作用による交叉積はC*(Z^k ×_d Λ)に同型であり、これはAFである。
• 高ランクグラフΛが非周期的であれば、C*(Λ)は単純かつ純粋無限であり、Cuntz-Krieger代数の場合の条件を一般化する。
• 離散群Gがk-グラフΛに自由に作用する場合、交叉積C*(Λ)⋊GはC*(Λ/G)⊗K(ℓ²(G))に同型であり、これはグラフC*-代数の結果を一般化する。
• 2つの1-グラフAとBが可換な頂点行列を持ち、写像θによって結合される場合、2-グラフA*θBのC*-代数はθが恒等写像であればC*(A)⊗C*(B)に同型であるが、θが交換写像（例えばO₂*θO₂ ≅ O₂⊗O₂ ≅ O₂である一方、O₂*ιO₂ ≅ O₂⊗C(T)）である場合には異なる。
• 可換な1-グラフから2-グラフを構成する方法は普遍的モデルを提供する：任意の2-グラフは、あるA、B、θに対してA*θBとして得られる。これは、同型を除いて構成が完全であることを示している。