[論文レビュー] Crossed products of k-graph C*-algebras by Z^l

Cyntyhia Farthing, David Pask+1 more|ArXiv.org|Jun 25, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、k-図 Λ と Λ 上の Z^l 行動 α から (k+l)-図を構成し、その C*-代数が C*(Λ) ×_α Z^l に標準的に同型であることを示している。主な貢献は、従来のモリタ同値結果とは異なり、行動が自由でない場合でも成り立つ同型結果であり、ピムスナー–ヴォイキュレスクの完全系列を用いて K-理論の計算が可能になる。

ABSTRACT

An action of Z^l by automorphisms of a k-graph induces an action of Z^l by automorphisms of the corresponding k-graph C*-algebra. We show how to construct a (k+l)-graph whose C*-algebra coincides with the crossed product of the original k-graph algebra by Z^l. We then investigate the structure of the crossed-product C*-algebra.

研究の動機と目的

• k-図 C*-代数の Z^l 行動による積作用と同型である (k+l)-図を構成すること。
• 従来の結果が行動の自由性を要件としていたのを克服し、行動が自由でない場合でも成り立つ同型結果を提供すること。
• 積作用 C*-代数の研究に図 C*-代数の技法を応用可能にする、特に K-理論計算を可能にすること。
• スケイプ積構成を Z^l 行動へ一般化し、自由でない行動を含む枠組みを拡張すること。

提案手法

• k-図 Λ と Λ 上の Z^l 行動 α から、一般化されたスケイプ積構成を用いて積作用 (k+l)-図 Λ ×_α Z^l を定義する。
• Λ 上の行動 α が C*(Λ) 上に誘導する行動 α̃ を示し、C*(Λ ×_α Z^l) ≅ C*(Λ) ×_α̃ Z^l が標準的同型として成り立つことを証明する。
• 最近の [21] における高ランク図 C*-代数の単純性の特徴付けを用いて、C*(Λ ×_α Z^l) が単純であるための条件を特定する。
• l=1 の場合に、ピムスナー–ヴォイキュレスクの完全系列を適用し、同型を用いて積作用の K-理論を元の代数の K-理論と関連付けることで、C*(Λ ×_α Z) の K-理論を計算する。
• 行動と転置インシデント行列 A^t および B^t によって誘導される写像の余核と核の間の同型を確立し、行列代数を用いた K-理論計算を可能にする。
• アーベル群の可換図式における十六進法則を用いて、中央の行の完全性を示し、これにより式 (6.1) および (6.2) の K-理論公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行動 α が自由でない場合でも、その C*-代数が k-図 C*-代数の Z^l 行動による積作用と同型である (k+l)-図を構成できるか？
• RQ2 C*(Λ ×_α Z^l) と C*(Λ) ×_α̃ Z^l の同型は、k-図 Λ 上の行動 α の組合せ的構造にどのように依存するか？
• RQ3 k-図 Λ と行動 α にどのような条件を課すと、積作用 C*-代数 C*(Λ) ×_α̃ Z^l が単純になるか？
• RQ4 l=1 の場合に、ピムスナー–ヴォイキュレスクの完全系列を用いて C*(Λ ×_α Z) の K-理論を計算できるか？ また、これと C*(Λ) の K-理論の関係は何か？
• RQ5 行動の行列表現 A および B を用いて、cokernels および kernels of (1 - A^t) および (1 - B^t) を用いて、K_0 および K_1 の積作用をどの程度まで行列の代数的性質で計算できるか？

主な発見

• (k+l)-図 Λ ×_α Z^l は、行動 α が自由でない場合でも、その C*-代数が C*(Λ) ×_α̃ Z^l に標準的に同型になるように構成されている。
• 行動が自由でない場合でも、C*(Λ ×_α Z^l) と C*(Λ) ×_α̃ Z^l の同型が成り立つ。これは、従来のモリタ同値結果の制限を解消する。
• C*(Λ ×_α Z^l) の単純性は、[21] の枠組みを用いて Λ と行動 α の組合せ的性質に基づいて特徴付けられている。
• l=1 の場合、ピムスナー–ヴォイキュレスクの完全系列を用いて C*(Λ ×_α Z) の K-理論が計算可能であり、行列論的ツールの使用が可能になる。
• K-理論群 K_*(C*(Λ ×_α Z)) は、(1 - A^t) および (1 - B^t) の余核と核を用いて表現され、それらと K-理論上の写像との間の明示的同型が確立されている。
• K_1(C*(Λ)) = 0 のとき、アーベル群の図式における上段および下段の行の完全性から、中央の行の完全性が従い、これにより K-理論公式 (6.1) および (6.2) が得られる。