[论文解读] Higher regularity properties of mappings and morphisms

Steven Duplij, Władysław Marcinek|ArXiv.org|May 31, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文提出了一种广义框架，用于在范畴论中将可逆性推广至正则性，通过高阶正则性条件用广义逆代替严格逆。它提出了一种非可逆的杨- Baxter 方程，使用障碍映射 $e^{(n)}$，实现了对单一路径范畴中辫子结构和态射的正则化，尤其适用于规范场论、超对称性和非交换几何中的非可逆结构。

ABSTRACT

We propose to extend ``invertibility'' to ``regularity'' for categories in general abstract algebraic manner. Higher regularity conditions and ``semicommutative'' diagrams are introduced. Distinction between commutative and ``semicommutative'' cases is measured by non-zero obstruction proportional to the difference of some self-mappings (obstructors) $e^{(n)}$ from the identity. This allows us to generalize the notion of functor and to ``regularize'' braidings and related structures in monoidal categories. A ``noninvertible'' analog of the Yang-Baxter equation is proposed.

研究动机与目标

• 通过引入放松可逆性要求的正则性条件，推广范畴论中可逆性的概念。
• 通过广义逆推广单一路径范畴中函子和辫子结构的观念至非可逆设置。
• 为量子场论、超对称性和非交换几何中出现的非可逆结构提供范畴框架。
• 通过涉及障碍映射 $e^{(n)}$ 的正则性条件，取代可逆性，实现对辫子范畴和对称范畴的正则化。
• 提出杨- Baxter 方程的非可逆类比，通过修改的预辫子结构容纳自同态半群解。

提出的方法

• 引入满足 $f \circ f^* \circ f = f$（内正则性）和 $f^* \circ f \circ f^* = f^*$（外正则性）的广义逆 $f^*$，推广自同态映射。
• 通过障碍映射 $e^{(n)}$ 定义 $n$-正则性，其度量与恒等映射的偏离，替代预辫子构造中的 $Id_X$。
• 构造修改的预辫子映射 $\mathbf{B}^{L(n)} = e_X^{(n)} \otimes \mathrm{B}_{Y,Z}$ 和 $\mathbf{B}^{R(n)} = \mathrm{B}_{X,Y} \otimes e_Z^{(n)}$，以弱化标准辫子结构。
• 通过将标准辫子替换为其 $n$-正则化版本，推导出正则化杨- Baxter 方程（35）。
• 将形式化应用于对称单一路径范畴，将可逆性条件 $\mathrm{B}_{Y,X} \circ \mathrm{B}_{X,Y} = \mathrm{Id}$ 替换为 $\mathrm{B}_{X,Y} \circ \mathrm{B}_{X,Y}^* \circ \mathrm{B}_{X,Y} = \mathrm{B}_{X,Y}$。
• 使用半群理论和广义逆方法，构造非可逆杨- Baxter 方程的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 范畴论中可逆性的概念如何超越同构，推广至包含非可逆态射的情形？
• RQ2 满足广义正则性条件而非可逆性的态射的范畴结构是什么？
• RQ3 如何对辫子范畴和对称单一路径范畴进行正则化，以容纳非可逆辫子？
• RQ4 当辫子被替换为具有广义逆的非可逆自同态时，杨- Baxter 方程的形式是什么？
• RQ5 障碍映射 $e^{(n)}$ 如何量化在预辫子和辫子关系中对可逆性的偏离？

主要发现

• 本文引入广义逆 $f^*$，满足 $f \circ f^* \circ f = f$ 和 $f^* \circ f \circ f^* = f^*$，推广了半群理论中的逆映射。
• 正则化辫子条件 $\mathrm{B}_{X,Y} \circ \mathrm{B}_{X,Y}^* \circ \mathrm{B}_{X,Y} = \mathrm{B}_{X,Y}$ 取代了标准可逆性条件 $\mathrm{B}_{Y,X} \circ \mathrm{B}_{X,Y} = \mathrm{Id}$，允许非可逆辫子。
• $n$-正则化预辫子映射 $\mathbf{B}^{L(n)}$ 和 $\mathbf{B}^{R(n)}$ 使用障碍映射 $e_X^{(n)}$ 定义，其度量复合中与恒等映射的偏离。
• 在方程（35）中推导出杨- Baxter 方程的非可逆类比，其中标准辫子被其 $n$-正则化版本取代。
• 该形式化允许在自同态半群中找到解，将杨- Baxter 方程的适用范围从群结构扩展至更广范畴。
• 该构造为超对称性和非交换几何中传统可逆性失效的非可逆结构提供了范畴框架。