[论文解读] Higher representations for extended operators

Thomas Bartsch, Mathew Bullimore+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2023

Algebraic structures and combinatorial models被引用 33

一句话总结

该论文通过引入高阶表示来概括对量子场论中扩展算符的对称性作用：n-1 维算符在有限高阶群对称性之 n-表示中变换，并对 n=1、2、3（局部、线和曲面缺陷）给出详细分析。

ABSTRACT

It is known that local operators in quantum field theory transform in representations of ordinary global symmetry groups. The purpose of this paper is to generalise this statement to extended operators such as line and surface defects. We explain that $(n-1)$-dimensional operators transform in $n$-representations of a finite invertible or group-like symmetry and thoroughly explore this statement for $n = 1,2,3$. We therefore propose higher representation theory as the natural framework to describe the action of symmetries on the extended operator content in quantum field theory.

研究动机与目标

• 将有限对称性的作用从局部算符推广到扩展算符（线缺陷和曲面缺陷）。
• 提出高阶表示理论作为描述扩展算符内容中的对称性作用的自然框架。
• 将线与曲面上的不可约高阶表示（2-表示和3-表示）进行分类，并将其与物理数据（如子群、上同调类和融合范畴）联系起来。
• 给出基元与范畴视角，联系拓扑量子场论（TQFTs）和带隙边界条件，以阐明高阶表示的结构。

提出的方法

• 描述 G 如何通过拓扑对称缺陷及其结点作用于扩展算符。
• 将有限群的不可约 2-表示用数据 (σ,c) 来表征，其中 G 的作用 σ 为传递的，且在 H^2_σ(G,U(1)^n) 中的扭曲 2-闭 cocycle c。
• 将推广到分离的线缺陷和张量积，给出 2-表示的张量积规则。
• 通过附着的 n 维 TQFT 来实现 n-表示作为 G-等变结构，引入范畴视角。
• 解释方向反转和结点算符的行为，导致类型为 (σ,c) 的分级投影表示。
• 给出来自规范理论的基元例子以说明该框架。

Figure 1:

实验结果

研究问题

• RQ1 扩展算符如何在有限（高阶）群对称性下变换，超越局部算符？
• RQ2 指定线缺陷和曲面缺陷的 n-表示所需的精确定义数据是什么？
• RQ3 线和曲面缺陷在方向改变和在聚合（张量积）操作下如何变换？
• RQ4 是否可以通过附着的 TQFTs 和 G-等变结构来描述扩展算符，以恢复高阶表示理论？
• RQ5 缺陷的高阶表示有哪些具体的物理含义（例如异常、融合范畴）？

主要发现

• 局部算符在 G 的不可约表示中变换（第2节回顾）。
• 线缺陷在 G 的不可约 2-表示中变换，由一个传递的置换表示 σ 和在 Z^2_σ(G,U(1)^n) 中的扭曲 2-闭 cocycle c 来分类。
• 分离的线缺陷在 2-表示的张量积下变换，得到 (σ,c)⊗(σ′,c′)=(σ⊗σ′,c⊗c′).
• 在线缺陷上的连接算符为 G 的分等级投影表示，类型为 (σ,c)，适用于结束线的非真局部算符。
• 方向反转映射到共轭 2-表示 (σ,ĉ)，其中 ĉ 通过复共轭由 c 确定。
• 该框架通过 n 维 TQFT 和背景 Wilson 线支持范畴解释，提供对高阶表示及其异常的统一描述。

Figure 2: