[论文解读] HIGHER TOPOLOGICAL COMPLEXITY AND HOMOTOPY DIMENSION OF CONFIGURATION SPACES ON SPHERES

Ibai Basabe, Yuli B. Rudyak+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 35被引用 10

一句话总结

本文将法伯的拓扑复杂度推广至高阶不变量 TCₙ(X)，建立了其与路易斯蒂尼克-申里赫尔曼范畴及对角嵌入的上积长度之间的联系。本文计算了球面、复射影空间和四元数射影空间的积的 TCₙ，并引入了细胞分层空间以建模球面上的配置空间，表明其同伦维数为 (n−1)(k−1)+1。

ABSTRACT

Yu. Rudyak has recently extended Farber's notion of topological complexity by defining, for n ≥ 2, the n th topolog- ical complexity TCn(X) of a path-connected space X—Farber's original notion is recovered for n = 2. In this paper we develop further the properties of this extended concept, relating it to the Lusternik-Schnirelmann category of cartesian powers of X, as well as to the cup-length of the diagonal embedding X → X n . We com- pute the numerical values of TCn for products of spheres, closed 1-connected symplectic manifolds (e.g. complex projective spaces), and quaternionic projective spaces. We explore the symmetrized version of the concept (TC S (X)) and introduce a new symmetriza- tion (TC �(X)) which is a homotopy invariant of X. We obtain a (conjecturally sharp) upper bound for TC S (X) when X is a sphere. This is attained by introducing and studying the idea of cellular stratified spaces, a new concept that allows us to import techniques from the theory of hyperplane arrangements in order to construct finite CW complexes of the lowest possible dimension modelling, up to equivariant homotopy, configuration spaces of ordered distinct points on spheres—our models are in fact simplicial complexes. In particular, we show that the configuration space of n points (either ordered or unordered) in the k-dimensional sphere has homotopy dimension (n − 1)(k − 1) + 1.

研究动机与目标

• 将法伯的拓扑复杂度概念推广至 n 阶不变量 TCₙ(X)，其中 n ≥ 2。
• 将 TCₙ(X) 与 Xⁿ 的路易斯蒂尼克-申里赫尔曼范畴及对角嵌入 X → Xⁿ 的上积长度相联系。
• 计算球面积、闭的单连通辛流形（如复射影空间）及四元数射影空间的 TCₙ。
• 引入并研究 TCₙ(X) 的对称化版本，包括一种新的同伦不变量变体 TC̃(X)。
• 通过细胞分层空间建立当 X 为球面时 TC̃(X) 的（猜想为最优的）上界。

提出的方法

• 将 n 阶拓扑复杂度 TCₙ(X) 定义为法伯原始 TC(X) 在 n ≥ 2 时的推广。
• 将 TCₙ(X) 与 Xⁿ 的路易斯蒂尼克-申里赫尔曼范畴及对角映射 X → Xⁿ 的上积长度相联系。
• 构造有限 CW 复形，特别是单纯复形，通过细胞分层空间的概念，对球面上有序互异点的配置空间进行建模。
• 应用超平面排列理论的技术，构建配置空间在等变同伦意义下的最小维数模型。
• 利用细胞分层结构推导同伦维数的界，并计算特定流形的 TCₙ 值。
• 定义一种新的对称化版本 TC̃(X)，其为 X 的同伦不变量，从而为球面提供更紧的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于球面积、复射影空间及四元数射影空间，TCₙ(X) 的值是多少？
• RQ2 n 阶拓扑复杂度 TCₙ(X) 如何与 Xⁿ 的路易斯蒂尼克-申里赫尔曼范畴及对角嵌入的上积长度相关联？
• RQ3 能否定义 TCₙ(X) 的对称化版本，使其成为 X 的同伦不变量，其性质如何？
• RQ4 k 维球面上 n 个有序互异点的配置空间的同伦维数是多少？
• RQ5 TC̃(Sᵏ) 的上界是否猜想为最优？能否通过细胞分层空间实现该上界？

主要发现

• k 维球面上 n 个有序互异点的配置空间具有同伦维数 (n−1)(k−1)+1。
• TCₙ 已显式计算于球面积、闭的单连通辛流形（如复射影空间）及四元数射影空间。
• 引入了一种新的对称化版本 TC̃(X)，其为 X 的同伦不变量，并为 TC̃(Sᵏ) 提供了（猜想为最优的）上界。
• 细胞分层空间的概念被发展用于在等变同伦意义下，通过最小维数的单纯复形对配置空间进行建模。
• 成功地将超平面排列理论的技术引入，用于构建球面上配置空间的有限模型。
• 本文建立了 TCₙ(X) 与对角嵌入 X → Xⁿ 的上积长度之间的关系，将其与经典代数拓扑不变量联系起来。