[论文解读] Highest weight categories and Macdonald polynomials

Khoroshkin Anton|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用 12

一句话总结

本文通过与李超代数 $\sigma\otimes\mathbb{C}[x,\xi]$ 相关的最高权范畴，建立了麦克唐纳多项式的一个范畴化，表明麦克唐纳多项式作为某些模复形的分次特征标出现。关键结果将麦克唐纳配对识别为导出范畴中的同调配对，且在 BGG 对偶性下，这些复形坍缩为推广了韦尔与韦尔马模的模。

ABSTRACT

The aim of this paper is to introduce the categorical setup which helps us to relate the theory of Macdonald polynomials and the theory of Weyl modules for current Lie algebras discovered by V.\,Chari and collaborators. We identify Macdonald pairing with the homological pairing on the ring of characters of the Lie algebra of currents $\mathbf{g}\otimes\mathbb{C}[x,ξ]$. We use this description in order to define complexes of modules whose Euler characteristic of characters coincide with Macdonald polynomials. We generalize this result to the case of graded Lie algebras with anti-involution. We show that whenever the BGG reciprocity holds for the corresponding category of modules then these complexes collapse to the modules concentrated in homological degree $0$. The latter modules generalizes the notion of Weyl modules for current Lie algebras and the notion of Verma modules in the BGG category $\mathcal{O}$. We give different criterions of BGG reciprocity and apply them to the Lie algebra of currents $\mathbf{g}\otimes\mathbb{C}[x]$ with $\mathbf{g}$ semisimple.

研究动机与目标

• 建立一个将麦克唐纳多项式与当前李代数的韦尔模联系起来的范畴框架。
• 在 $\mathbf{g}\otimes\mathbb{C}[x,\xi]$ 上分次模的格罗滕迪克环中，将麦克唐纳配对与同调配对相联系。
• 通过同调代数克服舒尔非正性问题，将麦克唐纳多项式实现为导出复形的分次特征标。
• 在当前李代数和 BGG 范畴 $\mathcal{O}$ 的背景下，利用导出范畴推广韦尔与韦尔马模。
• 为 BGG 对偶性提供判据，并在 $\mathbf{g}$ 半单时验证 $\mathbf{g}\otimes\mathbb{C}[x]$ 上的 BGG 对偶性。

提出的方法

• 定义当前李超代数 $\mathbf{g}\otimes\mathbb{C}[x,\xi]$ 上的双分次、局部有限维模的范畴 $\mathcal{I}(\mathbf{g}\otimes\mathbb{C}[x,\xi])$。
• 利用 $\mathbf{g}\otimes\mathbb{C}[x,\xi]$ 上的反对合 $\tau$ 定义分次对偶 $N^{\checkmark}$ 和移位函子 $\{k,l\}$。
• 证明通过 $\sum (-1)^i q^k t^l \dim \operatorname{Ext}^i(M\{k,l\}, N^{\checkmark})$ 定义的同调配对 $\langle M,N\rangle_{\mathbf{g}\otimes\mathbb{C}[x,\xi]}$ 与麦克唐纳配对一致。
• 在权的上半部分引入全线性序，以解决导出同态计算中不可比较性的问题。
• 在导出范畴 $\mathcal{D}^-(\mathcal{I})$ 中构造复形 $\bar{\imath}_\lambda^! \mathcal{P}(\lambda)$，其分次特征标经归一化后即为麦克唐纳多项式。
• 定义归一化特征标 $f_\lambda := \chi_{q\text{-}{\mathfrak{g}}_0}(\bar{\imath}_\lambda^! \mathcal{P}(\lambda)) / z_\lambda(q)$，其中 $z_\lambda(q)$ 是 $\bar{\imath}_\lambda^! \mathcal{P}(\lambda)$ 中 $L(\lambda)$-重数的分次欧拉示性数。

实验结果

研究问题

• RQ1 麦克唐纳多项式能否作为 $\mathbf{g}\otimes\mathbb{C}[x,\xi]$ 上模的导出范畴中复形的分次特征标被范畴化？
• RQ2 在 $\mathbf{g}\otimes\mathbb{C}[x,\xi]$-模上的同调配对如何与对称函数上的麦克唐纳配对相关联？
• RQ3 在何种条件下，导出复形 $\bar{\imath}_\lambda^! \mathcal{P}(\lambda)$ 会坍缩为仅在度数 0 处有非零项的模？
• RQ4 在当前李代数的背景下，由导出构造产生的韦尔与韦尔马模的何种推广形式出现？
• RQ5 在范畴 $\mathcal{I}(\mathbf{g}\otimes\mathbb{C}[x,\xi])$ 中，BGG 对偶性成立的判据是什么？

主要发现

• 在 $\mathbf{g}\otimes\mathbb{C}[x,\xi]$-模的格罗滕迪克环上，通过导出同态的欧拉示性数，同调配对与麦克唐纳配对一致。
• 麦克唐纳多项式被实现为归一化分次特征标 $f_\lambda = \chi_{q\text{-}{\mathfrak{g}}_0}(\bar{\imath}_\lambda^! \mathcal{P}(\lambda)) / z_\lambda(q)$，其中 $z_\lambda(q)$ 是 $\bar{\imath}_\lambda^! \mathcal{P}(\lambda)$ 中 $L(\lambda)$-重数的分次欧拉示性数。
• 当 BGG 对偶性成立时，复形 $\bar{\imath}_\lambda^! \mathcal{P}(\lambda)$ 坍缩为仅在同调度数 0 处有非零项的模，从而推广了韦尔与韦尔马模。
• 归一化特征标 $f_\lambda$ 满足广义麦克唐纳多项式的定义性质：在麦克唐纳配对下正交性，且在单项式基下为上三角形式。
• 配对 $\langle f_\lambda, f_\lambda \rangle_{{\mathfrak{g}}} = 1/z_\lambda(q)$ 确认了归一化与麦克唐纳内积一致。
• 当 $\mathbf{g}$ 半单时，$\mathcal{I}(\mathbf{g}\otimes\mathbb{C}[x])$ 中 BGG 对偶性成立，确保导出复形坍缩为度数 0 处的模。