[论文解读] Highly edge-connected regular graphs without large factorizable subgraphs

Davide Mattiolo, Eckhard Steffen|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2019

Finite Group Theory Research参考文献 4被引用 5

一句话总结

该论文构建了高度边连通的 r-正则图（r-图），这些图不包含 r−2 个两两不相交的完美匹配，从而对 Thomassen 提出的一个问题给出了否定回答：即每个偶数阶的 r-正则 r-边连通图是否都能分解为 r−2 个 1-因子和一个 2-因子。该构造利用了 Petersen 图的完美匹配以及通过图扩展实现的边连通性增强，为所有 r≥4 构造出了具有指定边连通性水平的无限多组此类图，其边连通性水平取决于 r mod 4。

ABSTRACT

We construct highly edge-connected $r$-regular graph which do not contain $r-2$ pairwise disjoint perfect matchings. The results partially answer a question stated by Thomassen [Factorizing regular graphs, J. Comb. Theory Ser. B (2019), https://doi.org/10.1016/j.jctb.2019.05.002 (article in press)].

研究动机与目标

• 解决 Thomassen 关于 r-正则 r-边连通图能否分解为 r−2 个 1-因子和一个 2-因子的开放问题。
• 构造不包含 r−2 个两两不相交完美匹配的 r-图的无限家族。
• 确定此类 r-图存在的最小边连通度 t，其取决于 r mod 4。
• 将构造方法扩展，以生成阶为 70(r−1) 的简单 r-图，且具有相同性质。
• 证明高边连通性并不能保证 r-图中存在大量不相交的完美匹配。

提出的方法

• 利用 Petersen 图 P 的结构特性，特别是其五个完美匹配 M0 到 M5 及其交集行为。
• 使用图运算 G′ = G + (N1 + · · · + Nk)，其中 Nj 是完美匹配的副本，以构建具有受控边重数的扩展图 Pk。
• 对 Hk 的顶点应用 Meredith 扩展，以生成保持边连通性且不包含 r−2 个不相交完美匹配的简单 r-图。
• 通过类型函数 t(N) = j 建立扩展图中完美匹配的标记系统，其中 j 表示在基础 Petersen 图中的匹配类型。
• 使用函数 φ: E(G) → Zn₂ 跟踪匹配交集，并应用引理 2.5 证明每个顶点集 V i_k 恰好与 4k−2 个不相交匹配家族中的 2k−1 个相交。
• 通过组合 Pk 的副本并应用顶点合并与边添加操作，将 Hk 构造为 60 个顶点上的 4k-边连通 4k-图，以强制实现高连通性与结构约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 r ≥4，是否存在不分解为 r−2 个 1-因子和一个 2-因子的 r-正则 r-边连通图（偶数阶）？
• RQ2 r-图中不包含 r−2 个两两不相交完美匹配的最小边连通度 t 是多少？
• RQ3 能否构造出阶可控且为简单图的此类图？
• RQ4 r-图中的高边连通性是否意味着存在大量不相交的完美匹配？
• RQ5 Petersen 图的完美匹配的哪些特性使得能够构造出此类极值 r-图？

主要发现

• 对于每个 r ≥4，均存在无限多组 t-边连通的 r-图，其不包含 r−2 个两两不相交的完美匹配，其中当 r ≡0 mod 4 时 t = r，当 r ≡1 mod 2 时 t = r−1，当 r ≡2 mod 4 时 t = r−2。
• 该构造生成了阶为 60 的 t-边连通 r-图，且不包含 r−2 个不相交完美匹配，其中 Hk 是每个 k ≥1 下的 60 个顶点上的 4k-边连通 4k-图。
• 存在阶为 70(r−1) 的简单 r-图，其为 t-边连通且不包含 r−2 个两两不相交的完美匹配，通过重复应用 Meredith 扩展构造而成。
• 图 Hk 是 4k-边连通的，且不包含 4k−2 个两两不相交的完美匹配，该结论通过在顶点集 V i_k 上使用匹配交集计数的反证法得到证明。
• 图族 Hk+1 通过向 Hk 添加四个两两不相交的完美匹配 N0, N1, N2, N3 构造而成，建立了递归构造方法。
• 对 Hk 中大小为 35 的顶点覆盖应用 Meredith 扩展，可生成阶为 70(r−1) 的简单 r-图，其具有相同的不可因子化性质，同时保持边连通性与匹配约束。