[论文解读] Hilbert's Tenth Problem in Coq

Dominique Larchey-Wendling, Yannick Forster|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2020

Computability, Logic, AI Algorithms被引用 1

一句话总结

本文在构造性类型理论框架下，使用 Coq 对希尔伯特第十问题的不可判定性给出了形式化证明。通过将递归可枚举集建模为 Minsky 机器，并利用康威的 FRACTRAN 作为中间计算模型，作者建立了戴维斯-普特南-罗宾逊-马蒂亚谢维奇定理，证明了每个递归可枚举问题都是丢番图问题，从而完全机械化地证明了不可判定性结果。

ABSTRACT

We formalise the undecidability of solvability of Diophantine equations, i.e. polynomial equations over natural numbers, in Coq's constructive type theory. To do so, we give the first full mechanisation of the Davis-Putnam-Robinson-Matiyasevich theorem, stating that every recursively enumerable problem - in our case by a Minsky machine - is Diophantine. We obtain an elegant and comprehensible proof by using a synthetic approach to computability and by introducing Conway's FRACTRAN language as intermediate layer.

研究动机与目标

• 在 Coq 的构造性类型理论中，对自然数上丢番图方程的不可判定性进行形式化验证。
• 对戴维斯-普特南-罗宾逊-马蒂亚谢维奇定理进行机械化处理，证明每个递归可枚举集都是丢番图集。
• 建立一种合成性计算方法，以增强形式化证明中的清晰度与可信度。
• 使用康威的 FRACTRAN 语言作为抽象计算与多项式方程之间的桥梁。
• 使用现代证明助手提供希尔伯特第十问题不可判定性的完整机器可检查证明。

提出的方法

• 在 Coq 的构造性类型理论中采用合成性计算理论方法，以简化对计算的推理。
• 通过 Minsky 机器建模计算，作为递归可枚举集的来源。
• 引入康威的 FRACTRAN 作为中间计算模型，以连接机器计算与多项式方程。
• 构建从 FRACTRAN 程序到丢番图方程的系统性转换，保持可解性不变。
• 形式化证明 Minsky 机器中解的存在性与对应丢番图方程中解的存在性之间的逻辑等价性。
• 使用 Coq 的依赖类型和归纳家族，以确保构造的正确性与表达力。

实验结果

研究问题

• RQ1 希尔伯特第十问题的不可判定性是否可以在 Coq 这类构造性类型理论环境中被完全形式化？
• RQ2 如何通过计算的合成性方法对戴维斯-普特南-罗宾逊-马蒂亚谢维奇定理进行机械化处理？
• RQ3 康威的 FRACTRAN 在多大程度上可作为将机器计算转换为丢番图方程的有效中间层？
• RQ4 从 Minsky 机器到丢番图方程的转换具有哪些形式化与构造性性质？
• RQ5 能否使用现代证明助手实现对丢番图方程不可判定性的完整机器可检查证明？

主要发现

• 本文在 Coq 中完整形式化了戴维斯-普特南-罗宾逊-马蒂亚谢维奇定理，确立了每个递归可枚举集都是丢番图集。
• 使用康威的 FRACTRAN 作为中间模型显著简化了证明结构，并提升了机械化过程的清晰度。
• Coq 中的合成性计算方法使证明的构建更加直观且模块化。
• 形式化证明确认了希尔伯特第十问题在自然数上是不可判定的，即不存在算法能判定任意丢番图方程的可解性。
• 从 Minsky 机器到丢番图方程的转换被形式化验证为保持可解性，确保了约化过程的正确性。
• 整个证明均通过 Coq 进行机器检查，从而提供了极高的正确性与逻辑一致性保障。