[论文解读] Hirzebruch manifolds and positive holomorphic sectional curvature

Bo Yang, Fangyang Zheng|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用 4

一句话总结

该论文证明了每个Hirzebruch流形 $M_{n,k} = \mathbb{P}(H^k \oplus 1_{\mathbb{CP}^{n-1}})$ 在其每个凯勒类中都存在具有正全纯截面曲率（$H>0$）的凯勒度量。通过应用卡拉比的$\mathbb{C}^*$-丛度量方法与紧化技术，作者将希钦的构造推广至更高维的Hirzebruch流形，并表明此类度量构成凯勒锥的一个真子集，其曲率夹紧行为与以往例子不同。

ABSTRACT

This paper is the first step in a systematic project to study examples of Kähler manifolds with positive holomorphic sectional curvature ($H > 0$). Previously Hitchin proved that any compact Kähler surface with $H>0$ must be rational and he constructed such examples on Hirzebruch surfaces $M_{2, k}=\mathbb{P}(H^{k}\oplus 1_{\mathbb{CP}^1})$. We generalize Hitchin's construction and prove that any Hirzebruch manifold $M_{n, k}=\mathbb{P}(H^{k}\oplus 1_{\mathbb{CP}^{n-1}})$ admits a Kähler metric of $H>0$ in each of its Kähler classes. We demonstrate that the pinching behaviors of holomorphic sectional curvatures of new examples differ from those of Hitchin's which were studied in the recent work of Alvarez-Chaturvedi-Heier. Some connections to recent works on the Kähler-Ricci flow on Hirzebruch manifolds are also discussed. It seems interesting to study the space of all Kähler metrics of $H>0$ on a given Kähler manifold. We give higher dimensional examples such that some Kähler classes admit Kähler metrics with $H>0$ and some do not.

研究动机与目标

• 系统研究具有正全息截面曲率（$H>0$）的凯勒流形，该曲率条件弱于正双截面曲率，但仍蕴含强拓扑与几何性质。
• 将希钦在Hirzebruch曲面 $M_{2,k}$ 上构造 $H>0$ 度量的工作推广至高维Hirzebruch流形 $M_{n,k}$。
• 研究给定凯勒流形上所有具有 $H>0$ 的凯勒度量的空间结构，特别是该空间是否路径连通，或是否为凯勒锥的真子集。
• 探讨 $H>0$ 度量与凯勒-Ricci流之间的联系，特别是 $H>0$ 在流下是否保持不变。

提出的方法

• 应用卡拉比的构造方法，在 $\mathbb{CP}^{n-1}$ 上的 $\mathbb{C}^*$-丛上构造凯勒度量，使用依赖于纤维坐标之凯勒势的函数。
• 通过紧化完成度量，从而在射影化丛 $\mathbb{P}(L \oplus 1)$ 上获得凯勒度量，其中 $L$ 为全纯线丛。
• 将希钦在 $M_{2,k}$ 上的原始构造重新表述为一般构造的特例，以统一理论框架。
• 利用由凯勒势与陈联络导出的曲率公式，分析全纯截面曲率。
• 通过计算不同方向上的渐近曲率行为，证明新例子中 $H$ 的夹紧行为与希钦的原始例子不同。
• 利用 $M_{n,k}$ 上的交点理论，证明在某些凯勒类中总标量曲率可为负，从而证明 $H>0$ 度量并未填满整个凯勒锥。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个Hirzebruch流形 $M_{n,k}$ 的每个凯勒类是否都存在具有正全纯截面曲率的凯勒度量？
• RQ2 新例子中全纯截面曲率的夹紧行为与希钦在 $M_{2,k}$ 上的原始构造有何不同？
• RQ3 给定凯勒流形上具有 $H>0$ 的凯勒度量空间是否路径连通，特别是在 $M_{n,k}$ 上？
• RQ4 凯勒-Ricci流是否保持Hirzebruch流形上全纯截面曲率的正性？
• RQ5 是否可在 $\mathbb{CP}^r \times \mathbb{CP}^s$ 的完备交上构造出 $H>0$ 度量，例如双次数为 $(p,2)$ 的超曲面？

主要发现

• 每个Hirzebruch流形 $M_{n,k} = \mathbb{P}(H^k \oplus 1_{\mathbb{CP}^{n-1}})$ 在其每个凯勒类中都存在具有 $H>0$ 的凯勒度量。
• 存在 $H>0$ 度量的凯勒类集合是完整凯勒锥的真子集，当 $k > n$ 时，某些类中总标量曲率为负，已得证。
• 新例子中全纯截面曲率表现出与希钦原始例子不同的夹紧行为，尤其在某些方向上的渐近曲率衰减特性不同。
• 凯勒-Ricci流不保持全纯截面曲率的正性，该结论通过曲率演化分析得以验证。
• 对于 $\mathbb{CP}^r \times \mathbb{CP}^s$ 中的光滑双次数 $(p,2)$ 超曲面 $M^n$，$H>0$ 度量的存在性虽可能但非必然，当 $p > r+1$ 且纤维类较大时，标量曲率可能为负。
• 结果确认 $H>0$ 在凯勒度量空间中为“大开”条件，即在每个凯勒类中，此类度量的集合既开又非空。