[论文解读] History of the formulas and algorithms for pi

Jesús Guillera|ArXiv.org|Jul 5, 2008

Advanced Mathematical Identities参考文献 16被引用 19

一句话总结

本文追溯了从阿基米德使用多边形进行几何逼近到现代超几何级数与符号证明方法的π计算公式和算法的历史发展。文中重点介绍了若干关键进展，包括韦达的无穷连根式、沃利斯的无穷乘积、牛顿的二项级数以及拉马努金型级数，通过威尔夫-齐勒伯格（WZ）方法进行严格证明，并借助PSLQ算法实现数值发现，最终得出1/π、1/π²与1/π³的新恒等式。

ABSTRACT

Throughout more than two millennia many formulas have been obtained, some of them beautiful, to calculate the number pi. Among them, we can find series, infinite products, expansions as continued fractions and expansions using radicals. Some expressions which are (amazingly) related to pi have been evaluated. In addition, a continual battle has been waged just to break the records computing digits of this number; records have been set using rapidly converging series, ultra fast algorithms and really surprising ones, calculating isolated digits. The development of powerful computers has played a fundamental role in these achievements of calculus.

研究动机与目标

• 记录超过两千年间计算π的数学公式与算法的演变过程。
• 解释从几何逼近到解析级数与超几何级数在π计算中的转变过程。
• 展示威尔夫-齐勒伯格（WZ）方法在严格证明1/π及相关常数的无穷级数恒等式中的应用。
• 说明PSLQ算法如何实现对1/π²与1/π³的新拉马努金型级数的发现。
• 提出并验证1/π、1/π²与1/π³的新级数恒等式，包括那些先被猜想后通过先进符号与数值技术证明的公式。

提出的方法

• 阿基米德使用内接与外切多边形（边数为3·2ⁿ）的迭代算法来界定π的范围，其收敛性通过三角恒等式证明。
• 韦达的2/π无穷连根式公式，源自单位直径圆中多边形边数的连续加倍。
• 沃利斯的2/π无穷乘积公式，后经奥斯勒的推广与韦达公式统一。
• 牛顿通过展开√(x−x²)的二项式级数推导出π的级数，结合二项定理对几何面积进行积分。
• 格雷戈里-莱布尼茨级数通过逐项积分1/(1+x²)的几何级数得到π/4，通过取x=1/√3加以改进。
• 应用威尔夫-齐勒伯格（WZ）方法，通过构造满足F(n+1,k)−F(n,k)=G(n,k+1)−G(n,k)的WZ对(F,G)，证明1/π与1/π²的超几何级数恒等式。
• 利用PSLQ算法发现1/π²与1/π³的新猜想级数，包括涉及阶乘及2、5、41的幂的项。
• 通过错位求和与极限方法证明恒等式，通过计算limₖ→∞ G(0,k)得出∑G(n,k) = 4/π与∑G(n,k) = 8/π²。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿基米德基于多边形的算法如何仅通过几何推理实现对π的界限估计？
• RQ2 韦达的无穷连根式公式在π计算历史进程中的意义是什么？
• RQ3 微积分的出现如何促成牛顿与格雷戈里-莱布尼茨等新解析级数的产生？
• RQ4 威尔夫-齐勒伯格（WZ）方法如何实现对1/π超几何级数恒等式的严格、自动证明？
• RQ5 PSLQ算法在发现1/π²与1/π³新猜想级数中扮演什么角色，这些级数又如何被验证？

主要发现

• 阿基米德的算法使用96边形得出3 + 10/71 < π < 3 + 1/7的界限，精确到小数点后两位。
• 韦达的无穷连根式公式对π实现了9位有效数字的精度，计算出3.141592653。
• 牛顿的二项级数对π的近似在1665年达到15位有效数字的精度，其推导基于对二项式展开的积分。
• WZ方法成功证明了恒等式∑ₙ₌₀^∞ (1/2⁸ⁿ) · (2n)!³(2k)!² / (n!⁶(n+k)!²) · (6n+4k+1) = 4/π对所有k成立，当k=0时即为拉马努金的级数。
• PSLQ算法发现了猜想级数∑ₙ₌₀^∞ (6n)!(-1)ⁿ / (2880³ⁿ n!⁶) · (5418n²+693n+29) = 128√5/π²，目前尚未被证明。
• W. Zudilin利用二次变换证明了涉及wₙ的新恒等式，如∑ₙ₌₀^∞ wₙ(4n)!/(n!²(2n)!) · (18n²−10n−3)/(2⁸5²)ⁿ = 10√5/π²，将组合系数与π⁻²联系起来。