[论文解读] Hochschild products and global non-abelian cohomology for algebras. Applications

A. L. Agore, G. Militaru|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2015

Advanced Topics in Algebra参考文献 36被引用 4

一句话总结

本文引入了一个全局非交换上同调对象 $\mathbb{G}H^2(A,V)$，用于分类所有使给定向量空间 $E$ 上的满线性映射 $\pi: E \to A$ 成为代数同态的单位结合代数结构。研究证明，此类代数同构于广义的 Hochschild 积 $A \star V$，并计算了这些代数的自同构群作为半直积的一个子群，该框架在 Poisson 代数和幂零余代数中有应用。

ABSTRACT

Let $A$ be a unital associative algebra over a field $k$, $E$ a vector space and $π: E o A$ a surjective linear map with $V = { m Ker} (π)$. All algebra structures on $E$ such that $π: E o A$ becomes an algebra map are described and classified by an explicitly constructed global cohomological type object ${\mathbb G} {\mathbb H}^{2} \, (A, \, V)$. Any such algebra is isomorphic to a Hochschild product $A \star V$, an algebra introduced as a generalization of a classical construction. We prove that ${\mathbb G} {\mathbb H}^{2} \, (A, \, V)$ is the coproduct of all non-abelian cohomologies ${\mathbb H}^{2} \, \, (A, \, (V, \cdot))$. The key object ${\mathbb G} {\mathbb H}^{2} \, (A, \, k)$ responsible for the classification of all co-flag algebras is computed. All Hochschild products $A \star k$ are also classified and the automorphism groups ${ m Aut}_{ m Alg} (A \star k)$ are fully determined as subgroups of a semidirect product $A^* \, \ltimes \bigl(k^* imes { m Aut}_{ m Alg} (A) \bigl)$ of groups. Several examples are given as well as applications to the theory of supersolvable coalgebras or Poisson algebras. In particular, for a given Poisson algebra $P$, all Poisson algebras having a Poisson algebra surjection on $P$ with a $1$-dimensional kernel are described and classified.

研究动机与目标

• 通过分类所有使固定满射 $\pi: E \to A$ 成为代数同态的向量空间 $E$ 上的代数结构，解决单位结合代数的全局扩张问题。
• 引入并表征一个新的全局上同调对象 $\mathbb{G}H^2(A,V)$，用于分类所有此类扩张。
• 证明每个此类代数同构于一个 Hochschild 积 $A \star V$，推广经典构造。
• 将这些代数的自同构群计算为 $A^* \ltimes (k^* \times \mathrm{Aut}_{\mathrm{Alg}}(A))$ 的子群，提供结构描述。
• 将该框架应用于分类所有具有到 3 维 Heisenberg-Poisson 代数的满射且核为 1 维的 4 维 Poisson 代数，包括由参数 $\omega, \tau \in k$ 参数化的无限族。

提出的方法

• 将全局扩张问题定义为：分类所有使 $\pi: E \to A$ 为满代数同态的 $E$ 上的结合代数结构，其中 $V = \ker(\pi)$ 固定为一个向量空间。
• 将全局上同调对象 $\mathbb{G}H^2(A,V)$ 构造为所有非交换上同调 $\mathbb{H}^2(A, (V, \cdot))$ 的余积，其中 $V$ 上的代数结构可变。
• 引入 Hochschild 积 $A \star V$ 作为实现所有此类扩张的普遍构造。
• 推导 $A \star V$ 的自同构的显式相容条件，从而在自同构集合上导出群结构。
• 证明自同构群 $\mathrm{Aut}_{\mathrm{Alg}}(A \star k)$ 嵌入半直积 $A^* \ltimes (k^* \times \mathrm{Aut}_{\mathrm{Alg}}(A))$，并给出指定的乘法规则。
• 通过构造一个 co-flag 数据，将该框架应用于 Poisson 代数，分类所有具有 1 维核且映满到 3 维 Heisenberg-Poisson 代数的 4 维 Poisson 代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对向量空间 $E$ 上所有单位结合代数结构进行分类，使得固定的满射 $\pi: E \to A$ 成为代数同态？
• RQ2 全局上同调对象 $\mathbb{G}H^2(A,V)$ 在分类此类代数扩张中起什么作用？
• RQ3 Hochschild 积 $A \star V$ 如何作为所有此类扩张的普遍模型？
• RQ4 给定代数 $A$ 时，自同构群 $\mathrm{Aut}_{\mathrm{Alg}}(A \star k)$ 的结构是什么？
• RQ5 该框架如何应用于分类具有满射到给定 Poisson 代数且核为 1 维的 Poisson 代数？

主要发现

• 所有使 $\pi: E \to A$ 成为代数映射的 $E$ 上的代数结构集合，由全局上同调对象 $\mathbb{G}H^2(A,V)$ 分类，该对象是所有非交换上同调 $\mathbb{H}^2(A, (V, \cdot))$ 的余积。
• 每个此类代数同构于一个 Hochschild 积 $A \star V$，该构造推广了经典扩张构造。
• 自同构群 $\mathrm{Aut}_{\mathrm{Alg}}(A \star k)$ 同构于 $A^* \ltimes (k^* \times \mathrm{Aut}_{\mathrm{Alg}}(A))$ 的一个子群，且具有指定的乘法规则。
• 对于 3 维 Heisenberg-Poisson 代数 $\mathcal{H}(3,k)$，存在恰好五种同构类型的 4 维 Poisson 代数，其满射到 $\mathcal{H}(3,k)$，其中包括两个由 $\omega, \tau \in k$ 参数化的无限族 $P_4^\omega$ 和 $P_5^\tau$。
• 每个此类 Poisson 代数 $P_{(\lambda,\Lambda,\vartheta,\gamma,f)}$ 的自同构群同构于一个群 $\mathcal{GP}(P, (\lambda,\Lambda,\vartheta,\gamma,f))$，其乘法已定义，并存在一个单射群同态嵌入到 $P^* \ltimes_\zeta (k^* \times \mathrm{Aut}_{\mathrm{Poss}}(P))$。
• 对核维数为 1 的 $\mathcal{H}(3,k)$ 上的 4 维 Poisson 代数的分类，由于连续参数 $\omega$ 和 $\tau$ 的存在，产生无穷多个非同构类型，尽管具有相同性质的结合代数仅有有限多个。