[论文解读] Hodograph Method and Numerical Solution of the Two Hyperbolic Quasilinear Equations. Part III. Two-Beam Reduction of the Dense Soliton Gas Equations

E. V. Shiryaeva, M. Yu. Zhukov|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Nonlinear Waves and Solitons被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于守恒律的赫格罗夫方法，用于求解两束流体密集孤子气体方程（等价于玻恩-艾尔伯特方程）的解析与数值解。通过利用守恒律的显式黎曼-格林函数，将双曲拟线性偏微分方程转化为常微分方程的柯西问题，该方法实现了无需人工粘性项的高精度、非近似数值积分，从而能够以高精度求解周期性与波包初始数据的解。

ABSTRACT

The paper presents the solutions for the two-beam reduction of the dense soliton gas equations (or Born-Infeld equation) obtained by analytical and numerical methods. The method proposed by the authors is used. This method allows to reduce the Cauchy problem for two hyperbolic quasilinear PDEs to the Cauchy problem for ODEs. In some respect, this method is analogous to the method of characteristics for two hyperbolic equations. The method is effectively applicable in all cases when the explicit expression for the Riemann-Green function for some linear second order PDE, resulting from the use of the hodograph method for the original equations, is known. The numerical results for the two-beam reduction of the dense soliton gas equations, and the shallow water equations (omitting in the previous papers) are presented. For computing we use the different initial data (periodic, wave packet).

研究动机与目标

• 开发一种求解两束流体密集孤子气体方程中出现的两个双曲拟线性偏微分方程柯西问题的数值方法。
• 应用基于守恒律的赫格罗夫方法，将偏微分方程组转化为常微分方程的柯西问题，避免对原始偏微分方程进行数值近似。
• 在玻恩-艾尔伯特方程上展示该方法的有效性，初始条件为周期性和波包形式，包括此前被忽略的浅水方程。
• 提供一种求解多值解与间断解的框架，无需引入人工粘性或数值耗散。

提出的方法

• 赫格罗夫方法通过利用守恒律和关联线性偏微分方程的显式黎曼-格林函数，将原始双曲拟线性偏微分方程转化为常微分方程组。
• 解通过黎曼不变量 $ R^1, R^2 $ 隐式表示，时间 $ t(a,b) $ 与位置 $ x(a,b) $ 通过守恒律密度 $ \varphi $ 的积分定义。
• 该方法使用拉格朗日变量 $ a, b $，其中 $ R^1(x,t) = R^1_0(b) $，$ R^2(x,t) = R^2_0(a) $，并通过参数 $ \tau $ 的常微分方程在等时线上重构解。
• 通过涉及偏导数 $ t_a, t_b $ 的常微分方程求解 $ a(\tau), b(\tau), X(\tau) $ 的柯西问题，这些偏导数由黎曼-格林函数和初始数据计算得出。
• 引入参数 $ \theta $ 的参数化简化，将常微分方程简化为 $ \frac{da}{d\theta} = R^2_0(a) - R^1_0(a) $ 等形式，提升数值效率。
• 该方法避免了有限差分、有限体积或黎曼求解器的近似，确保解的精度仅取决于常微分方程积分的精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于守恒律的赫格罗夫方法是否能有效应用于密集孤子气体方程的两束流体约化？
• RQ2 如何将两个双曲拟线性偏微分方程的柯西问题转化为常微分方程组，而无需数值近似？
• RQ3 当该方法应用于玻恩-艾尔伯特方程的周期性和波包初始数据时，其数值特性如何？
• RQ4 该方法是否能在不引入人工粘性或数值耗散的情况下保持解的结构？
• RQ5 该方法能否处理双曲系统中固有的多值解与间断解？

主要发现

• 赫格罗夫方法成功地将密集孤子气体方程的两束流体约化转化为常微分方程的柯西问题，实现了高精度的数值积分。
• 该方法实现了无需人工粘性项的高精度解，因为原始偏微分方程未被近似，仅对常微分方程进行数值求解。
• 周期性和波包初始数据的数值结果表明，该方法在复杂波结构上的鲁棒性与适用性。
• 等时线上的解通过参数 $ \tau $ 的常微分方程计算，其中 $ t_a $ 和 $ t_b $ 由黎曼-格林函数和初始数据推导得出。
• 利用 $ \theta $ 的参数化变换简化了常微分方程，使其在保持精度的同时计算效率更高。
• 该方法适用于广泛的方程类，包括浅水方程与玻恩-艾尔伯特方程，只要存在显式的黎曼-格林函数。