[论文解读] Holomorphic Bundles and the Moduli Space of N=1 Heterotic Compactifications

Xenia de la Ossa, Eirik Eik Svanes|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2014

Black Holes and Theoretical Physics被引用 12

一句话总结

本文通过证明形变由一个丛 $\mathcal{Q}$ 上的全纯结构控制，推导出 $N=1$ 异规compactification 的一阶模空间，该丛 $\mathcal{Q}$ 作为涉及 $T^*X$ 和 $E = \text{End}(V) \oplus \text{End}(TX) \oplus TX$ 的扩张构造而成，其扩张类 $\mathcal{H}$ 强制实现异常抵消。关键结果是物理模空间源于 $\text{End}(V)$ 和 $TX$，而 $\text{End}(TX)$ 成分虽不物理，却在数学上对一致性至关重要。

ABSTRACT

We describe the first order moduli space of heterotic string theory compactifications which preserve $N=1$ supersymmetry in four dimensions, that is, the infinitesimal parameter space of the Strominger system. We establish that if we promote a connection on $TX$ to a field, the moduli space corresponds to deformations of a holomorphic structure $\bar D$ on a bundle $\cal Q$. The bundle $\cal Q$ is constructed as an extension by the cotangent bundle $T^*X$ of the bundle $E= { m End}(V) \oplus { m End}(TX) \oplus TX$ with an extension class $\cal H$ which precisely enforces the anomaly cancelation condition. The deformations corresponding to the bundle $E$ are simultaneous deformations of the holomorphic structures on the poly-stable bundles $V$ and $TX$ together with those of the complex structure of $X$. We discuss the fact that the ``moduli'' corresponding to ${ m End}(TX)$ cannot be physical, but are however needed in our mathematical structure to be able to enforce the anomaly cancelation condition. In the Appendix we comment on the choice of connection on $TX$ which has caused some confusion in the community before. It has been shown by Ivanov and others that this connection should also satisfy the instanton equations, and we give another proof of this fact.

研究动机与目标

• 推导保留四维 $N=1$ 超对称性的 $N=1$ 异规compactification 的无穷小模空间。
• 阐明 $TX$ 上联络在 Strominger 系统中的作用，解决文献中先前的混淆。
• 表明模空间对应于由涉及 $T^*X$ 和 $E$ 的扩张构造的丛 $\mathcal{Q}$ 上的全纯结构 $\bar{D}$ 的形变。
• 证明 $\text{End}(TX)$ 成分虽不物理，但对强制实现异常抵消条件至关重要。

提出的方法

• 将丛 $\mathcal{Q}$ 构造为 $T^*X$ 对 $E = \text{End}(V) \oplus \text{End}(TX) \oplus TX$ 的全纯扩张，扩张类为 $\mathcal{H}$。
• 将模空间识别为 $\mathcal{Q}$ 上全纯结构 $\bar{D}$ 的形变，参数化无穷小compactification 数据。
• 利用扩张类 $\mathcal{H}$ 编码 Strominger 系统所要求的异常抵消条件。
• 证明 $E$ 的形变对应于 $V$、$TX$ 上全纯结构及紧化流形 $X$ 复结构的同步形变。
• 证明 $\text{End}(TX)$ 成分虽不物理，但对闭合形变系统并满足异常抵消条件在数学上必不可少。
• 提供一种替代证明，表明 $TX$ 上的联络必须满足瞬子方程，确认 Ivanov 及其他人的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在全纯丛的术语下，$N=1$ 异规compactification 的一阶模空间如何结构化？
• RQ2 扩张类 $\mathcal{H}$ 在编码异常抵消条件中的精确作用是什么？
• RQ3 若 $\text{End}(TX)$ 成分不对应物理模空间，为何仍包含在形变空间中？
• RQ4 对 $TX$ 的联络选择如何影响 Strominger 系统的一致性？
• RQ5 能否通过全纯丛框架重新推导出 $TX$ 联络必须为瞬子的条件？

主要发现

• $N=1$ 异规compactification 的模空间被实现为丛 $\mathcal{Q}$ 上全纯结构 $\bar{D}$ 的形变空间，该丛 $\mathcal{Q}$ 作为 $T^*X$ 对 $E$ 的扩张构造而成。
• 扩张类 $\mathcal{H}$ 精确地强制实现 Strominger 系统所要求的异常抵消条件。
• $E = \text{End}(V) \oplus \text{End}(TX) \oplus TX$ 的形变对应于 $V$、$TX$ 上全纯结构及紧化流形 $X$ 复结构的同步形变。
• 与 $\text{End}(TX)$ 相关的成分虽不物理，但对闭合形变系统并维持与异常抵消的一致性在数学上必不可少。
• 本文提供了新的证明，表明 $TX$ 上的联络必须满足瞬子方程，确认了 Ivanov 及其他人的早期结果。
• 该框架澄清了关于 $TX$ 联络选择的长期困惑，表明其对 Strominger 系统的一致性至关重要。