[论文解读] Holomorphic submanifolds of some hypercomplex manifolds with Hermitian and Norden metrics

Galia Nakova, Hristo Manev|arXiv (Cornell University)|May 8, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文研究了赋予赫尔米特度量和诺登度量的超复流形中全纯子流形的性质，重点关注那些局部共形等价于超凯勒流形的子流形。通过利用环境流形的李1-形式，建立了这些子流形为全脐或全测地的充要条件，并构造了此类子流形的显式例子。

ABSTRACT

In this paper we initiate the study of submanifolds of almost hypercomplex manifolds with Hermitian and Norden metrics. Object of investigations are holomorphic submanifolds of the hypercomplex manifolds which are locally conformally equivalent to the hyper-Kähler manifolds of the considered type. Necessary and sufficient conditions the investigated holomorphic submanifolds to be totally umbilical or totally geodesic are obtained. Examples of the examined submanifolds are constructed.

研究动机与目标

• 启动对赋予赫尔米特度量和诺登度量的几乎超复流形中子流形的研究。
• 刻画属于 $\nabla{\rm W}$ 类的流形中全纯子流形的性质，这些流形是局部共形等价于此类超凯勒流形的。
• 确定此类全纯子流形为全脐或全测地的必要与充分条件。
• 在该几何设定下，构造全纯子流形的显式例子。

提出的方法

• 分析环境流形 $(\bar{M}, H, G)$ 属于 $\nabla{\rm W}$ 类、且局部共形等价于超凯勒流形的全纯子流形 $M$。
• 使用中性度量 $g$ 的 Levi-Civita 联络 $\nabla$，并通过 $F_\beta(X,Y,Z) = g((\nabla_X J_\beta)Y, Z)$ 定义基本张量 $F_\beta$（$\beta = 1,2,3$）。
• 引入与环境流形 $\bar{M}$ 相关的李1-形式 $\bar{\theta}_\beta$，这些形式对刻画子流形的几何性质至关重要。
• 通过将切丛 $T\bar{M} = TM \times TM'$ 的分解应用于乘积流形结构，以构造例子。
• 通过方程 (3.5) 和 (3.6) 推导出环境空间及其子流形的基本张量与李1-形式之间的关系。
• 利用关系 $\bar{F}_\beta(\bar{X},\bar{Y},\bar{Z}) = F_\beta(X,Y,Z) + F_\beta'(X',Y',Z')$，建立子流形间曲率与结构性质的关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 全纯子流形 $M$ 在 $\nabla{\rm W}$-流形 $\bar{M}$ 中，何时自身也是 $\nabla{\rm W}$-流形或 $\nabla{\rm K}$-流形？
• RQ2 李1-形式 $\bar{\theta}_\beta$ 在何种条件下，使得全纯子流形 $M$ 为全脐或全测地？
• RQ3 子流形 $M$ 的几何性质（如脐性或测地性）如何依赖于环境流形 $\bar{M}$ 的结构，特别是当 $\bar{M}$ 属于 $\nabla{\rm W}$ 时？
• RQ4 能否使 $\nabla{\rm K}$-流形的全纯子流形为全测地？此类子流形的特征是什么？
• RQ5 在该几何设定下，全纯子流形的显式构造是什么？其曲率张量与结构张量的行为如何？

主要发现

• 若全纯子流形 $M$ 是 $\nabla{\rm W}$-流形 $\bar{M}$ 的子流形，则其为 $\nabla{\rm W}$-流形或 $\nabla{\rm K}$-流形，具体取决于李1-形式 $\bar{\theta}_\beta$ 在法丛上的消失性。
• 若全纯子流形 $M$ 是 $\nabla{\rm W}$-流形 $\bar{M}$ 的子流形，则其为全脐当且仅当李1-形式 $\bar{\theta}_\beta$ 在法丛 $TM^\bot$ 上非零；其为全测地当且仅当 $\bar{\theta}_\beta$ 在 $TM^\bot$ 上消失。
• 每个 $\nabla{\rm K}$-流形的全纯子流形均为全测地，并继承 $\nabla{\rm K}$-结构。
• 每个 $\nabla{\rm K}$-子流形（作为 $\nabla{\rm W}$-流形的子流形）均为全脐。
• 在乘积构造 $\bar{M} = M \times M'$ 中，若 $M$ 为 $\nabla{\rm K}$-流形且 $M'$ 为 $\nabla{\rm W}$-流形，则子流形 $M$ 为全脐，而 $M'$ 为全测地。
• 环境流形 $\bar{M}$ 的李1-形式 $\bar{\theta}_\beta$ 可分解为 $\bar{\theta}_\beta(\bar{Z}) = \theta_\beta(Z) + \theta_\beta'(Z')$，该分解决定了子流形的几何类型。