[论文解读] Holonomic approximation and Gromov's h-principle

Yakov Eliashberg, N. Mishachev|ArXiv.org|Jan 23, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 10

一句话总结

本文提出了一项普遍的可积近似定理，为微分拓扑中的h-原理提供了统一的框架。通过证明任意喷射丛的截面可在正余维数子流形稍作形变后的邻近区域，被$C^0$-逼近为可积截面，作者们直接推导出格罗莫夫的h-原理及相关结果，显著简化了对开流形上柔性几何结构的基础方法。

ABSTRACT

In 1969 M. Gromov in his PhD thesis greatly generalized Smale-Hirsch-Phillips immersion-submersion theory by proving what is now called the h-principle for invariant open differential relations over open manifolds. Gromov extracted the original geometric idea of Smale and put it to work in the maximal possible generality. Gromov's thesis was brought to the West by A. Phillips and was popularized in his talks. However, most western mathematicians first learned about Gromov's theory from A. Haefliger's article. The current paper is devoted to the same subject as the papers of Gromov and Haefliger. It seems to us that we further purified Smale-Gromov's original idea by extracting from it a simple but very general theorem about holonomic approximation of sections of jet-bundles (see Theorem 1.2.1 below). We show below that Gromov's theorem as well as some other results in the h-principle spirit are immediate corollaries of Theorem 1.2.1.

研究动机与目标

• 通过为喷射丛提出一种新的、普遍适用的逼近定理，推广并简化格罗莫夫h-原理的基础框架。
• 证明h-原理计划中的关键结果——如浸入、子mersure和辛嵌入定理——可作为单一、普遍的逼近原理的直接推论。
• 建立一种清晰、几何直观的方法，用于将非可积截面逼近为可积截面，尤其在正余维数子流形附近。
• 将理论扩展至参数化和相对情形，以处理映射族和叶状流形的应用。
• 为微柔性与不变微分关系奠定基础，通过展示可积逼近原理的更广泛应用性。

提出的方法

• 核心方法是为光滑流形上$r$-阶喷射丛的截面建立一个在正余维数多面体邻近成立的可积逼近定理。
• 作者使用一个$C^0$-小的微分同胚$h$来形变定义域，使得可在$h(A)$附近构造一个可积截面，该截面在$C^0$-拓扑下逼近原截面$F$。
• 证明通过多面体$A$的骨架逐层进行，利用任意截面在点附近均为可积（由泰勒逼近）的事实。
• 参数化与相对版本通过将构造推广至截面族来建立，确保微分同胚与逼近关系与固定边界数据保持一致。
• 该方法依赖于存在依赖于基点连续变化的光滑局部坐标系，从而实现局部可积逼近的构造。
• 通过将各类几何关系（如浸入、子mersure、辛结构）简化为逼近定理，将该框架应用于推导h-原理。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何喷射丛的截面是否都能在正余维数子流形邻近被可积截面逼近？
• RQ2 h-原理在多大程度上可从单一、普遍的逼近原理推导，而非依赖于特定构造？
• RQ3 如何将可积逼近定理推广至参数化与相对情形，以处理映射族与固定数据？
• RQ4 哪些几何结构——如辛或接触形式——可使用此逼近方法在开流形上构造？
• RQ5 该定理能否被调整以处理在某些微分同胚群（如保持纤维方向的群）下不变的微分关系？

主要发现

• 可积逼近定理（定理1.2.1）保证：对任意定义在正余维数多面体$A$邻近的截面$F$，以及任意$\rho > 0$，存在一个$C^0$-小的微分同胚$h$和一个在$h(A)$上的可积截面$\tilde{F}$，使得$||\tilde{F} - F||_{C^0} < \rho$。
• 参数化版本（定理1.2.2）确保此类逼近可在参数空间$I^m$上连续进行，且在参数立方体的边界上保持固定。
• 该定理的相对版本确保：若$F$在子多面体$B \to A$上已为可积，则逼近可在$B$的邻近区域保持固定。
• 格罗莫夫的开流形h-原理作为直接推论成立，因为形式解的存在性可经由逼近推出可积解的存在性。
• 该定理适用于广泛几何问题，包括浸入、子mersure、$k$-mersure、与分布的横截性，以及在开流形上构造辛与接触结构。
• 该方法可扩展至微柔性与不变微分关系，例如在纤维化微分同胚$t \to h(t)$下保持不变的情形，通过逼近原理的推广实现。