[论文解读] Homoclinic tangencies and singular hyperbolicity for three-dimensional vector fields

Sylvain Crovisier, Dawei Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 15

一句话总结

本文证明了任意三维紧流形上的$C^1$向量场，均可被逼近为奇异双曲向量场，或与一个正则双曲周期轨道相关的同宿切触向量场。该结果证实了Palis的猜想，建立了$C^1$-泛型三维向量场的二分性，解决了三维非双曲动力系统分类中的一个核心问题。

ABSTRACT

We prove that any vector field on a three-dimensional compact manifold can be approximated in the C1-topology by one which is singular hyperbolic or by one which exhibits a homoclinic tangency associated to a regular hyperbolic periodic orbit. This answers a conjecture by Palis. During the proof we obtain several other results with independent interest: a compactification of the rescaled sectional Poincaré flow and a generalization of Mañé-Pujals-Sambarino theorem for three-dimensional C2 vector fields with singularities.

研究动机与目标

• 为解决Palis关于三维$C^1$向量场中奇异双曲性与同宿切触之间泛型二分性的猜想。
• 为紧致三维流形上$C^1$-泛型向量场建立拓扑与动力二分性。
• 将Mañé-Pujals-Sambarino定理由非奇异流推广至具有支配分解的三维奇异流。
• 为分析奇点附近的动力行为，提出对缩放截面Poincaré流的紧化方法。
• 在支配分解与奇异双曲性条件下，刻画链递归集的结构。

提出的方法

• 引入对缩放截面Poincaré流的紧化方法，以分析奇点附近的动力行为，并将局部纤维流扩展为全局结构。
• 采用纤维动力系统方法，结合支配分解，控制不变集上切丛与线性Poincaré流的行为。
• 利用拓扑稳定性与$δ$-区间构造，证明非极小链递归类中存在法向扩张的无理环面。
• 将广义的Mañé-Pujals-Sambarino定理由$C^2$向量场推广至含奇点的系统，建立一致收缩与支配性质。
• 利用支配分解在$C^1$-扰动下的鲁棒性及链递归类的半连续性，将结果从扰动系统推广至原向量场。
• 结合$C^1$-泛型性论证与剩余集，证明任何不被同宿切触系统逼近的向量场必为奇异双曲。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意三维紧流形上的$C^1$向量场是否可被逼近为奇异双曲向量场，或与一个正则双曲周期轨道相关的同宿切触向量场？
• RQ2 在存在奇点的情况下，具有支配分解的链递归集的动力性质如何表征？
• RQ3 如何对链递归集上奇点附近的线性Poincaré流进行紧化与分析，以将双曲型结果推广至奇异流？
• RQ4 Mañé-Pujals-Sambarino定理由非奇异流推广至含奇点的三维流时，其适用范围在多大程度上成立？
• RQ5 在三维流形上，$C^1$向量场在奇异双曲性与同宿切触性方面的泛型二分性是什么？

主要发现

• 任意三维紧流形上的$C^1$向量场，均可在$C^1$拓扑下被逼近为奇异双曲向量场，或与一个正则双曲周期轨道相关的同宿切触向量场。
• 链递归集正则部分上线性Poincaré流具有支配分解，当且仅当该集合为双曲或奇异双曲。
• 对于$C^1$-泛型向量场，若某链递归类既非双曲周期轨道也非孤立奇点，则当其不被同宿切触系统逼近时，必为奇异双曲。
• 若链递归集上线性Poincaré流存在支配分解，且该集合包含稳定维数为二的奇点，则该集合必为奇异双曲。
• $C^1$向量场中，其链递归类为鲁棒遍历的集合在三维流形上$C^1$向量场空间中是开且稠密的。
• 奇异双曲性在$C^1$拓扑下是开性质，且任何不被同宿切触系统逼近的向量场必为奇异双曲。