[论文解读] Homogeneous Finsler spaces and the flag-wise positively curved condition

Ming Xu, Shaoqiang Deng|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2016

Advanced Differential Geometry Research参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文引入了Finsler空间中的旗-wise正曲率（FP）条件，即每个切平面都包含一条旗杆，其旗曲率为正。利用Killing导航技巧，该文在紧致齐次空间（如复Hermitian对称空间上的$S^1$丛）上构造了非负曲率的齐次Randers度量，通过根系准则证明了其中大多数无法容纳正曲率的齐次Finsler度量，并首次给出了$S^3 \times \mathbb{R}$上非紧致旗-wise正曲率Finsler度量的例子，为Hopf猜想提供了新见解。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the flag-wise positively curved condition for Finsler spaces (the (FP) Condition), which means that in each tangent plane, we can find a flag pole in this plane such that the corresponding flag has positive flag curvature. Applying the Killing navigation technique, we find a list of compact coset spaces admitting non-negatively curved homogeneous Finsler metrics satisfying the (FP) Condition. Using a crucial technique we developed previously, we prove that most of these coset spaces cannot be endowed with positively curved homogeneous Finsler metrics. We also prove that any Lie group whose Lie algebra is a rank $2$ non-Abelian compact Lie algebra admits a left invariant Finsler metric satisfying the (FP) condition. As by-products, we find the first example of non-compact coset space $S^3 imes \mathbb{R}$ which admits homogeneous flag-wise positively curved Finsler metrics. Moreover, we find some non-negatively curved Finsler metrics on $S^2 imes S^3$ and $S^6 imes S^7$ which satisfy the (FP) condition, as well as some flag-wise positively curved Finsler metrics on $S^3 imes S^3$, shedding some light on the long standing general Hopf conjecture.

研究动机与目标

• 在Finsler几何中引入并形式化旗-wise正曲率（FP）条件，要求每个切平面中至少存在一条旗杆，其对应的旗曲率为正。
• 在紧致齐次空间（特别是紧致型复Hermitian对称空间上的$S^1$丛）上，构造满足FP条件的非负曲率齐次Finsler度量。
• 基于根系准则，证明这些构造出的空间中大多数无法容纳正曲率的齐次Finsler度量。
• 提供首个非紧致齐次空间（$S^3 \times \mathbb{R}$）上具有齐次旗-wise正曲率Finsler度量的例子。
• 通过在$S^2 \times S^3$、$S^6 \times S^7$和$S^3 \times S^3$上构造新例子，探讨其对长期悬而未决的Hopf猜想的启示。

提出的方法

• 将旗-wise正曲率（FP）条件定义为正旗曲率的推广，要求对每个切平面，存在一条旗杆使得其对应的旗曲率为正。
• 应用Killing导航技巧，从Riemann度量和不变的Killing向量场出发，在齐次空间$G/(T^{k-1} \cdot H)$上构造$G$-齐次Randers度量。
• 采用关键的根系准则（定理1.4），基于Cartan子代数和根平面中不存在满足正交性和包含性条件的线性无关根对。
• 利用伴随表示$\mathrm{Ad}(g)$在切空间上的作用分析$F$-内积结构，证明非整数旋转角会迫使度量张量中的交叉项消失。
• 结合引理5.3与度量关于$\mathrm{Ad}(H')$的不变性，证明在某些根平面上沿旗杆方向的$F$-范数为常数，若假设正曲率则导致矛盾。
• 根据李代数类型（$A_1$、$A_n$、$B_n$等）及根向量的相对缩放比例，分类分析哪些齐次空间可能容许正曲率度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不支持正曲率Riemann度量的紧致齐次空间上，构造满足（FP）条件的非负曲率齐次Finsler度量？
• RQ2 哪些紧致齐次空间可以支持正曲率的齐次Finsler度量？根系障碍如何阻止这一可能性？
• RQ3 旗-wise正曲率条件是否允许构造出新的非紧致齐次Finsler空间，其具有正旗曲率？
• RQ4 能否通过在球面乘积上构造新的旗-wise正曲率Finsler度量，来推进对Hopf猜想的研究？
• RQ5 对于$S^3 \times \mathbb{R}$，尽管其非紧致，是否存在满足（FP）条件的齐次Finsler度量？

主要发现

• 本文在紧致不可约复Hermitian对称空间上的$S^1$丛上，构造了满足（FP）条件的非负曲率齐次Randers度量，包括$\mathrm{SU}(p+q)/\mathrm{SU}(p)\mathrm{SU}(q)$（$p \geq q > 1$）、$\mathrm{SO}(n)/\mathrm{SO}(n-2)$（$n > 4$）、$\mathrm{Sp}(n)/\mathrm{SU}(n)$（$n > 1$）、$\mathrm{SO}(2n)/\mathrm{SU}(n)$（$n > 2$）以及$\mathrm{E}_6/\mathrm{SO}(10)$、$\mathrm{E}_7/\mathrm{E}_6$。
• 证明了其中大多数构造出的空间（包括除球面外所有紧致型复Hermitian对称空间上的$S^1$丛）无法容纳正曲率的齐次Finsler度量，原因在于定理1.4中的根对准则被违反。
• 首次证明非紧致齐次空间$S^3 \times \mathbb{R}$可容纳齐次旗-wise正曲率Finsler度量，将可能的例子范围从紧致空间拓展至非紧致情形。
• 本文在$S^2 \times S^3$、$S^6 \times S^7$和$S^3 \times S^3$上提供了新的非负曲率Finsler度量例子，且满足（FP）条件，为检验一般Hopf猜想开辟了新途径。
• 对于$\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{SU}(2)/S^1$，仅存在有限多个缩放参数$c_1, c_2$的选择可能使正曲率齐次Finsler度量存在，如引理6.1在非共振条件下所示。
• 利用$\mathrm{Ad}(g)$-不变性与非整数旋转角的平均化技术，证明了$F$-内积中的交叉项消失，若假设正曲率则导致矛盾。