[论文解读] Homogenization of a Dirichlet semilinear elliptic problem with a strong singularity at $u=0$ in a domain with many small holes

Daniela Giachetti, Pedro J. Martínez−Aparicio+1 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 17被引用 13

一句话总结

本文研究了在具有许多小孔的区域中，具有 $u=0$ 处强奇点的半线性椭圆狄利克雷问题的均匀化。作者提出了一种基于对偶性的新解概念，以处理属于 $H^1_{\text{loc}}(\Omega_\varepsilon)$ 但不属于 $H^1_0(\Omega_\varepsilon)$ 的解。证明了均匀化极限方程在左侧保留了一个“奇怪项”$\mu u_0$，而右侧的源项 $F(x, u_0)$ 保持不变。

ABSTRACT

We perform the homogenization of the semilinear elliptic problem \\begin{equation*} \\begin{cases} u^\\varepsilon \\geq 0 & \\mbox{in} \\; \\Omega^\\varepsilon,\\\\ \\displaystyle - div \\,A(x) D u^\\varepsilon = F(x,u^\\varepsilon) & \\mbox{in} \\; \\Omega^\\varepsilon,\\\\ u^\\varepsilon = 0 & \\mbox{on} \\; \\partial \\Omega^\\varepsilon.\\\\ \\end{cases} \\end{equation*} In this problem $F(x,s)$ is a Carath\\'eodory function such that $0 \\leq F(x,s) \\leq h(x)/\\Gamma(s)$ a.e. $x\\in\\Omega$ for every $s > 0$, with $h$ in some $L^r(\\Omega)$ and $\\Gamma$ a $C^1([0, +\\infty[)$ function such that $\\Gamma(0) = 0$ and $\\Gamma'(s) > 0$ for every $s > 0$. On the other hand the open sets $\\Omega^\\varepsilon$ are obtained by removing many small holes from a fixed open set $\\Omega$ in such a way that a "strange term" $\\mu u^0$ appears in the limit equation in the case where the function $F(x,s)$ depends only on $x$. We already treated this problem in the case of a "mild singularity", namely in the case where the function $F(x,s)$ satisfies $0 \\leq F(x,s) \\leq h(x) (\\frac 1s + 1)$. In this case the solution $u^\\varepsilon$ to the problem belongs to $H^1_0 (\\Omega^\\varepsilon)$ and its definition is a "natural" and rather usual one. In the general case where $F(x,s)$ exhibits a "strong singularity" at $u = 0$, which is the purpose of the present paper, the solution $u^\\varepsilon$ to the problem only belongs to $H_{\ iny loc}^1(\\Omega^\\varepsilon)$ but in general does not belongs to $H^1_0 (\\Omega^\\varepsilon)$ any more, even if $u^\\varepsilon$ vanishes on $\\partial\\Omega^\\varepsilon$ in some sense. Therefore we introduced a new notion of solution (in the spirit of the solutions defined by transposition) for problems with a strong singularity. This definition allowed us to obtain existence, stability and uniqueness results.

研究动机与目标

• 研究在具有许多小孔的区域中，$u=0$ 处具有强奇点的半线性椭圆问题的均匀化。
• 为解属于 $H^1_{\text{loc}}(\Omega_\varepsilon)$ 但不属于 $H^1_0(\Omega_\varepsilon)$ 的问题定义一种新的解概念，这是由于强奇点的存在。
• 证明均匀化极限方程在左侧包含一个“奇怪项”$\mu u_0$，而右侧的源项 $F(x, u_0)$ 保持不变。
• 在新定义下建立解的存在性、稳定性和唯一性，并证明解 $u_\varepsilon$ 收敛于均匀化解 $u_0$。

提出的方法

• 通过基于对偶性的方法引入一种新解概念，以处理强奇点问题，其中 $F(x,s)$ 满足 $0 \leq F(x,s) \leq h(x)/\Gamma(s)$，且 $\Gamma(0)=0$，$\Gamma' > 0$。
• 在适应奇点结构的空间 $V(\Omega_\varepsilon)$ 中定义测试函数，以确保弱收敛性和在均匀化过程中的稳定性。
• 构造序列 $z_\varepsilon$，作为测试函数 $w_\varepsilon$ 的变体，以处理奇点行为并实现收敛性估计。
• 利用 $L^\infty$ 和 $H^1_{\text{loc}}$ 中的先验估计，控制 $u_\varepsilon$ 在 $u=0$ 附近及多孔区域中的行为。
• 应用补偿紧致性方法，并利用 $\chi_{\Omega_\varepsilon}$ 在 $L^1(\Omega)$ 中的强收敛性，识别通量的极限和奇怪项 $\mu$。
• 在弱形式中取极限，使用勒贝格控制收敛定理和法图引理，特别是处理涉及 $Z_\delta(u_\varepsilon)$ 和 $1 - Z_\delta(u_\varepsilon)$ 的项。

实验结果

研究问题

• RQ1 当解不属于 $H^1_0(\Omega_\varepsilon)$ 时，如何为在 $u=0$ 处具有强奇点的半线性椭圆问题定义解？
• RQ2 在具有许多小孔的多孔区域中，具有强奇点的半线性椭圆问题的均匀化极限是什么？
• RQ3 当源项 $F(x, u_\varepsilon)$ 在 $u=0$ 处奇异时，'奇怪项' $\mu u_0$ 是否仍会出现在均匀化方程中？
• RQ4 在基于对偶性的新解概念下，能否为这类奇异问题建立存在性、稳定性和唯一性？
• RQ5 在 $u=0$ 附近 $F(x, u_\varepsilon)$ 的行为如何影响均匀化过程及极限方程？

主要发现

• 均匀化极限方程在左侧保留了'奇怪项' $\mu u_0$，其中 $\mu$ 是 $H^{-1}(\Omega)$ 中的有界非负测度，源于孔洞的渐近记忆。
• 尽管在 $u=0$ 处存在强奇点，右侧的源项 $F(x, u_0)$ 在均匀化方程中保持不变。
• 原问题的解 $u_\varepsilon$ 属于 $H^1_{\text{loc}}(\Omega_\varepsilon)$ 但不属于 $H^1_0(\Omega_\varepsilon)$，因此需要基于对偶性的新解概念。
• 在 $L^1(\Omega)$ 和 $\Omega$ 几乎处处意义下建立了 $u_\varepsilon$ 到 $u_0$ 的收敛性，且 $u_0$ 在对偶意义下满足均匀化方程。
• 极限 $u_0$ 满足 $\int_{\Omega \cap \{u_0 = 0\}} F(x, u_0) v = 0$ 对所有测试函数 $v$ 成立，这是奇点和对偶框架的直接结果。
• 证明依赖于对 $Z_\delta(u_\varepsilon)$ 和 $1 - Z_\delta(u_\varepsilon)$ 的精细估计，并使用法图引理和控制收敛定理在 $\delta \to 0$ 时取极限。