[论文解读] Homogenization Techniques for Periodic Structures

Sébastien Guenneau, Richard V. Craster+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 55被引用 6

一句话总结

本文提出了针对周期性结构（如光子晶体和超材料）的先进均质化技术——经典、高频和高对比度均质化方法。它展示了这些方法如何实现有效材料参数的推导，包括人工磁性与负折射，从而在亚波长周期性的周期光栅中实现超透镜和隐形斗篷等应用。

ABSTRACT

In this chapter we describe a selection of mathematical techniques and results that suggest interesting links between the theory of gratings and the theory of homogenization, including a brief introduction to the latter. By no means do we purport to imply that homogenization theory is an exclusive method for studying gratings, neither do we hope to be exhaustive in our choice of topics within the subject of homogenization. Our preferences here are motivated most of all by our own latest research, and by our outlook to the future interactions between these two subjects. We have also attempted, in what follows, to contrast the "classical" homogenization (Section 11.1.2), which is well suited for the description of composites as we have known them since their advent until about a decade ago, and the "non-standard" approaches, high-frequency homogenization (Section 11.2) and high-contrast homogenization (Section 11.3), which have been developing in close relation to the study of photonic crystals and metamaterials, which exhibit properties unseen in conventional composite media, such as negative refraction allowing for super-lensing through a flat heterogeneous lens, and cloaking, which considerably reduces the scattering by finite size objects (invisibility) in certain frequency range. These novel electromagnetic paradigms have renewed the interest of physicists and applied mathematicians alike in the theory of gratings.

研究动机与目标

• 通过为周期性微结构建立数学框架，弥合光栅理论与均质化理论之间的鸿沟。
• 解决经典均质化在高对比度或高频区域中标准假设失效时的局限性。
• 通过渐近法与谱方法，实现对周期复合材料中人工磁性与负折射的预测。
• 为建模超材料与光子晶体中的有效电磁行为，提供严格的数学工具。
• 将均质化方法拓展至解序列紧性失效的非标准区域，从而揭示新的物理现象。

提出的方法

• 采用多尺度渐近展开，推导小周期性 η → 0 的周期介质的有效方程。
• 应用高频均质化方法处理标量波与横电波，捕捉带隙结构与共振行为。
• 利用两尺度收敛法与周期展开法分析周期结构中的极限问题。
• 通过细胞问题的谱分析，推导Kirchhoff-Love板与电磁波的有效方程。
• 通过Zhikov框架引入高对比度均质化，以模拟强介电常数对比的系统。
• 利用本征求和法与单位胞中奇数(n,m)模态的求和，计算有效磁性，通过式(11.44)获得μ_hom(k)。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典均质化如何被调整以描述周期性微结构光纤与一维光栅？
• RQ2 高对比度周期复合材料的有效电磁性能是什么？它们如何导致负折射？
• RQ3 人工磁性在周期光栅中于哪些频率范围内出现？如何量化？
• RQ4 高频均质化如何捕捉周期结构中的带隙行为与共振模态？
• RQ5 均质化技术在多大程度上可预测周期性超材料中的超透镜与隐身斗篷效应？

主要发现

• 在相对介电常数为100、边长a = 0.5d的正方形孔洞阵列中，有效磁性μ_hom(k)在频率范围[0.432, 0.534]内呈现负值，从而实现负折射。
• 通过式(11.44)给出有效磁性的均质化方程(11.40)可预测超透镜效应：在ω = 0.473的时谐源下，通过正方形孔洞阵列可产生聚焦像。
• 在高对比度均质化模型中，低频带隙在ω = 0附近打开，如不等式(11.43)所述，这与经典模型形成鲜明对比。
• 高阶均质化表明，当波长与周期性相当时，大多数周期光栅表现出人工磁性与手性。
• 除非采用补偿紧性或两尺度收敛技术，否则有效介质描述在高对比度区域会失效。
• 通过式(11.44)对μ_hom(k)的数值计算证实，在共振附近存在负有效磁性，验证了超透镜应用的理论预测。