[论文解读] Homomorphisms of hyperelliptic jacobians

Yu. G. Zarhin|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2003

Coding theory and cryptography参考文献 18被引用 13

一句话总结

本文確立了在特徵 ≠ 2 的域上，雙曲橢圓曲線的雅可比簇之間不存在非平凡同態的條件。透過利用伽羅瓦群作用與自同態環約束——特別是在伽羅瓦群為對稱群或交錯群時——證明了這些雅可比簇彼此非同構，且同態空間為平凡。主要貢獻是基於伽羅瓦理論與域論條件，提出一個一般性準則，用以判斷雙曲橢圓曲線雅可比簇之間的同態消失。

ABSTRACT

In his previous papers (Math. Res. Letters 7 (2000), 123--13; Progress in Math. 195 (2001), 473--490; Math. Res. Letters 8 (2001), 429--435; Moscow Math. J. 2 (2002), issue 2, 403-431; Proc. Amer. Math. Soc. 131 (2003), no. 1, 95--102) the author introduced certain explicit constructions of hyperelliptic jacobians without nontrivial endomorphisms. In the present paper we discuss when these jacobians are mutually non-isogenous. In addition, a special case ($n=m=3$) of our Theorem 1.2 provides the following criterion for elliptic curves $C_f: y^2=f(x)$ and $C_h: y^2=h(x)$ to be non-isogenous. (Here $f(x)$ and $h(x)$ are cubic polynomials with coefficients in a field $K$ of characteristic zero.) Suppose that $f(x)$ and $h(x)$ are irreducible over $K$, their Galois groups over $K$ coincide with the full symmetric group $S_3$, and their splitting fields are linearly disjoint over $K$. Then the elliptic curves $C_f$ and $C_h$ are non-isogenous over an algebraic closure of $K$.

研究动机与目标

• 確定在特徵 ≠ 2 的域上，雙曲橢圓曲線的雅可比簇之間不存在非平凡同態的條件。
• 利用伽羅瓦群作用與自同態環分析雙曲橢圓曲線雅可比簇之間同態空間的結構。
• 將先前關於雙曲橢圓曲線雅可比簇自同態環的結果，延伸至不同雅可比簇之間的同態。
• 建立在特定伽羅瓦群與域線性不相交條件下，雅可比簇彼此非同構且同態空間為平凡的結論。

提出的方法

• 利用定義多項式的伽羅瓦群分析其在根上的作用與分裂域的結構。
• 應用代數閉域上阿貝爾簇的理論，特別著重於自同態環與同態群。
• 採用分裂域線性不相交的條件，以確保不同曲線上的伽羅瓦作用相互獨立。
• 運用已知的自同態環結果——特別是當伽羅瓦群為 S_n 或 A_n（n ≥ 5，或在正特徵下 n ≥ 9）時，有 End(J(C_f)) = ℤ。
• 應用若 dim(X) ≥ dim(Y) 且 End(X) = ℤ，則 Hom(X,Y) = 0 的事實，前提是 X 與 Y 不同構。
• 利用 p 進 Newton 多邊形與分歧指數的域同構判別標準，以區分伽羅瓦群相同時的分裂域。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特徵 ≠ 2 的域上，兩條雙曲橢圓曲線的雅可比簇在何種條件下彼此之間不存在非平凡同態？
• RQ2 定義多項式的伽羅瓦群如何影響雙曲橢圓曲線雅可比簇之間同態空間的結構？
• RQ3 在何種條件下，兩個定義在域上的雙曲橢圓曲線雅可比簇彼此非同構且同態空間為平凡？
• RQ4 是否可利用分裂域的線性不相交性與伽羅瓦群類型（S_n 或 A_n）來保證同態空間的消失？
• RQ5 分裂域的分歧行為在區分域與確保雅可比簇之間同態消失的過程中扮演何種角色？

主要发现

• 若定義多項式的伽羅瓦群為 S_n 或 A_n，且分裂域線性不相交，則 Hom(J(C_f), J(C_h)) = 0 且 Hom(J(C_h), J(C_f)) = 0。
• 對於不可約多項式 f 與 h，其次數分別為 n ≥ 5 與 m ≥ 3，伽羅瓦群分別為 S_m 或 A_m 與 S_n 或 A_n，且分裂域線性不相交時，雅可比簇之間不存在非平凡同態。
• 當 n ≠ m，或當 Gal(f) = S_n 且 Gal(h) = A_m 時，雅可比簇之間的同態空間消失，即使兩者維數相同。
• 對於 ℚ 上的多項式 exp_n(x) = ∑_{i=0}^n x^i/i!，其伽羅瓦群為 S_n（若 4∤n）或 A_n（若 4|n）；當 n > 6 時，y² = exp_n(x) 與 y² = f_n(x) 的雅可比簇之間同態空間為平凡。
• 在正特徵下，對於 f(x) = x^n + tx + 1 與 h(x) = x^n + x + t，其中 n = (q^d - 1)/(q - 1)，其伽羅瓦群分別為 PSL(d,q) 與 PGL(d,q)，且當 (q,d) ≠ (3,4) 時，有 Hom(J(C_f), J(C_h)) = 0。
• 當其整環中的分歧指數不同時，K_f = K[x]/fK[x] 與 K_h = K[x]/hK[x] 為非同構域，此結果透過推論 1.5 可推出雅可比簇之間同態空間為平凡。