[论文解读] Homotopy abelianity of the DG-Lie algebra controlling deformations of pairs (variety with trivial canonical bundle, line bundle)

Donatella Iacono, Marco Manetti|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文证明了控制一对 (X, L) 变形的微分分次李代数（DG-Lie 代数）是同伦阿贝尔的，其中 X 是具有平凡 canonical bundle 的光滑射影概形，L 是 X 上的线丛。证明构造了一个关于 X 的 P¹-丛 Y，配备一个光滑除子 ∆，使得 (Y, ∆) 成为一个对数 Calabi-Yau 对，且建立了 (X, L) 的 DG-Lie 代数与 (Y, ∆) 的 DG-Lie 代数之间的拟同构。关键结果是此类对的变形是无阻碍的，将 Bogomolov-Tian-Todorov 定理推广到了对的情形。

ABSTRACT

We investigate the deformations of pairs (X,L), where L is a line bundle on a smooth projective variety X, defined over an algebraically closed field of characteristic 0. In particular, we prove that the DG-Lie algebra controlling the deformations of the pair (X,L) is homotopy abelian whenever X has trivial canonical bundle, and so these deformations are unobstructed.

研究动机与目标

• 建立控制一对 (X, L) 变形的 DG-Lie 代数的同伦阿贝尔性质，其中 X 是具有平凡 canonical bundle 的光滑射影概形，L 是 X 上的线丛。
• 通过导出代数几何分析变形理论，将 Bogomolov-Tian-Todorov 无阻碍性结果从 X 推广到对 (X, L)。
• 通过证明其控制 DG-Lie 代数与一个阿贝尔代数拟同构，表明 (X, L) 的变形函子是光滑的。

提出的方法

• 构造一个关于 X 的 P¹-丛 Y = P(O_X ⊕ L)，配备一个光滑除子 ∆ = ∆₀ + ∆∞。
• 证明若 X 具有平凡 canonical bundle，则 (Y, ∆) 是一个对数 Calabi-Yau 对，即 KY + ∆ ≡ 0。
• 建立 D(X, L) 与 p*Θ_Y(−log ∆) 之间自然的 O_X-线性李代数层同构 Ψ: D(X, L) ≅ p*Θ_Y(−log ∆)，其中 D(X, L) 是对的导子层。
• 使用 Thom-Whitney-Sullivan 总化方法，将导出整体截面 RΓ(X, D(X, L)) 和 RΓ(Y, Θ_Y(−log ∆)) 模型化为 DG-Lie 代数。
• 证明映射 Ψ 诱导了 DG-Lie 代数 RΓ(X, D(X, L)) 与 RΓ(Y, Θ_Y(−log ∆)) 之间的拟同构。
• 应用关于对数 Calabi-Yau 对的已知结果，得出 RΓ(Y, Θ_Y(−log ∆)) 是同伦阿贝尔的，因此 RΓ(X, D(X, L)) 也是同伦阿贝尔的。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 X 具有平凡 canonical bundle 时，控制 (X, L) 变形的 DG-Lie 代数是否为同伦阿贝尔？
• RQ2 能否通过在 X 上构造一个 P¹-丛来建立 (X, L) 变形的无阻碍性？
• RQ3 在适当的几何延拓下，(X, L) 的变形理论是否等价于对数 Calabi-Yau 对 (Y, ∆) 的变形理论？
• RQ4 一阶微分算子层 D¹(L) 在控制 (X, L) 的变形函子中起什么作用？
• RQ5 D(X, L) 与 p*Θ_Y(−log ∆) 之间的拟同构如何促进同伦阿贝尔性的证明？

主要发现

• 当 X 具有平凡 canonical bundle 时，控制 (X, L) 变形的 DG-Lie 代数是同伦阿贝尔的。
• 当 X 为 Calabi-Yau 时，构造 P¹-丛 Y = P(O_X ⊕ L) 与除子 ∆ = ∆₀ + ∆∞ 可得到一个对数 Calabi-Yau 对 (Y, ∆)。
• 存在一个自然的 O_X-线性李代数层同构 Ψ: D(X, L) → p*Θ_Y(−log ∆)。
• 映射 Ψ 诱导了 DG-Lie 代数 RΓ(X, D(X, L)) 与 RΓ(Y, Θ_Y(−log ∆)) 之间的拟同构。
• 由于 (Y, ∆) 是对数 Calabi-Yau，RΓ(Y, Θ_Y(−log ∆)) 是同伦阿贝尔的，因此 RΓ(X, D(X, L)) 也是同伦阿贝尔的。
• 因此，(X, L) 的变形函子是光滑的，意味着此类对的变形是无阻碍的。