[论文解读] Homotopy groups of Hom complexes of graphs

Anton Dochtermann|ArXiv.org|May 18, 2007

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文建立了一个长正合列，关联图的带基点的 Hom 复形的同伦群，表明 $\mathrm{Hom}_*(G,H)$ 的高阶同伦群同构于从 $G$ 到迭代环路图 $\Omega^i H$ 的组合定义的 $\times$-同伦类。其主要贡献在于通过 $\mathrm{Hom}_*$ 复形的同伦群，为图论中组合定义的 $\times$-同伦群提供了拓扑解释，将 A-理论的结果推广至 $\times$-同伦框架。

ABSTRACT

The notion of $ imes$-homotopy from \cite{DocHom} is investigated in the context of the category of pointed graphs. The main result is a long exact sequence that relates the higher homotopy groups of the space $\Hom_*(G,H)$ with the homotopy groups of $\Hom_*(G,H^I)$. Here $\Hom_*(G,H)$ is a space which parametrizes pointed graph maps from $G$ to $H$ (a pointed version of the usual $\Hom$ complex), and $H^I$ is the graph of based paths in $H$. As a corollary it is shown that $π_i \big(\Hom_*(G,H) \big) \cong [G,Ω^i H]_{ imes}$, where $ΩH$ is the graph of based closed paths in $H$ and $[G,K]_{ imes}$ is the set of $ imes$-homotopy classes of pointed graph maps from $G$ to $K$. This is similar in spirit to the results of \cite{BBLL}, where the authors seek a space whose homotopy groups encode a similarly defined homotopy theory for graphs. The categorical connections to those constructions are discussed.

研究动机与目标

• 为图论中组合定义的 $\times$-同伦群提供一个拓扑解释。
• 将带基点的 Hom 复形 $\mathrm{Hom}_*(G,H)$ 的高阶同伦群与图同态的 $\times$-同伦类联系起来。
• 建立一个涉及 $\mathrm{Hom}_*(G,H)$、$\mathrm{Hom}_*(G,H^I)$ 和环路图 $\Omega H$ 的长正合列。
• 证明图的 $\times$-同伦群与带基点的 Hom 复形的标准同伦群相对应。

提出的方法

• 将带基点的 Hom 复形 $\mathrm{Hom}_*(G,H)$ 引入为参数化从 $G$ 到 $H$ 的带基点图同态的拓扑空间。
• 将路径图 $H^I$ 定义为 $H$ 中带基点路径的图，并从 $\mathrm{Hom}_*(G,H^I)$ 构造一个自然的端点评估映射到 $\mathrm{Hom}_*(G,H)$。
• 利用由评估映射诱导的纤维丛所关联的同伦群长正合列，将 $\pi_i(\mathrm{Hom}_*(G,H))$ 与 $\pi_{i-1}(\mathrm{Hom}_*(G,\Omega H))$ 联系起来。
• 通过迭代应用长正合列，利用 $\mathrm{Hom}_*(T,G^I)$ 的可缩性，推导出同伦群与 $\times$-同伦类之间的同构。
• 利用带基点图范畴中 smash 积与内 Hom 之间的伴随关系，将 Hom 复形与环路空间联系起来。
• 利用 $\pi_0(\mathrm{Hom}_*(T,G)) = [T,G]_\times$ 和 $\pi_1(\mathrm{Hom}_*(T,\Omega G)) = \pi_0(\mathrm{Hom}_*(T,\Omega^2 G))$ 的事实，建立最终的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 $\mathrm{Hom}_*$ 复形的同伦群，为图的 $\times$-同伦群提供一个拓扑解释？
• RQ2 $\mathrm{Hom}_*(G,H)$ 的同伦群与从 $G$ 到迭代环路图 $\Omega^i H$ 的图同态的 $\times$-同伦类之间存在何种关系？
• RQ3 能否利用路径图构造 $H^I$，为 $\mathrm{Hom}_*$ 复形的同伦群构造一个长正合列？
• RQ4 图上的环路空间操作 $\Omega$ 是否对应于 $\mathrm{Hom}_*$ 复形语境下的经典环路空间函子？
• RQ5 对于带基点图，$\pi_i(\mathrm{Hom}_*(G,H))$ 与 $[G, \Omega^i H]_\times$ 之间是否存在范畴等价？

主要发现

• 同伦群 $\mathrm{Hom}_*(G,H)$ 同构于从 $G$ 到 $\Omega^i H$ 的带基点图同态的 $\times$-同伦类，即 $\pi_i(\mathrm{Hom}_*(G,H)) \cong [G, \Omega^i H]_\times$。
• 为评估纤维丛 $\mathrm{Hom}_*(G,H^I) \to \mathrm{Hom}_*(G,H)$ 建立了同伦群的长正合列，其纤维为 $\mathrm{Hom}_*(G,\Omega H)$。
• 证明了对于任意有限带基点图 $T$，空间 $\mathrm{Hom}_*(T,G^I)$ 是可缩的，这意味着长正合列中的边界映射是同构。
• 通过迭代应用长正合列，得到 $\pi_i(\mathrm{Hom}_*(T,G)) \cong \pi_1(\mathrm{Hom}_*(T,\Omega^{i-1} G)) \cong \pi_0(\mathrm{Hom}_*(T,\Omega^i G)) \cong [T, \Omega^i G]_\times$。
• 该构造可推广至无基点图，但在该情况下，纤维项 $\varphi_T^{-1}(\leq \gamma)$ 缺乏自然的 Hom 复形解释。
• 结果表明，图的 $\times$-同伦群自然同构于带基点 Hom 复形的标准同伦群，为组合同伦不变量提供了拓扑实现。