[论文解读] Homotopy Invariance of the string topology coproduct

Nancy Hingston, Nathalie Wahl|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文证明了弦拓扑中的Goresky-Hingston余乘积具有同伦不变性，扩展了已知的Chas-Sullivan乘积的同伦不变性。通过运用弦拓扑与有理同伦理论的技术，作者证明了自由圈空间上同调的余乘积结构在基流形的同伦等价下保持不变。

ABSTRACT

We show that the Goresky-Hingston coproduct in string topology, just like the Chas-Sullivan product, is homotopy invariant.

研究动机与目标

• 建立弦拓扑中Goresky-Hingston余乘积的同伦不变性。
• 将已知的Chas-Sullivan乘积的同伦不变性扩展至余乘积结构。
• 研究自由圈空间同调上的余乘积结构是否在基流形的同伦等价下保持不变。
• 为理解同伦变换下弦拓扑中的不变量，提供一个概念性与技术性的框架。

提出的方法

• 利用弦拓扑的框架及自由圈空间同调的结构。
• 应用有理同伦理论以分析余乘积的代数结构。
• 采用Pontryagin-Thom构造，将余乘积与几何链联系起来。
• 利用余乘积通过与同伦等价相容的链级构造来定义的事实。
• 证明余乘积在流形的同伦等价的拉回下保持不变。
• 在圈空间同调的背景下，利用对偶性与Poincaré对偶性来验证不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Goresky-Hingston余乘积是否在基流形的同伦等价下保持不变？
• RQ2 余乘积结构在流形的连续形变下如何表现？
• RQ3 能否通过有理同伦理论建立余乘积的同伦不变性？
• RQ4 余乘积的同伦不变性与Chas-Sullivan乘积的同伦不变性之间存在何种关系？
• RQ5 圈空间同调上的余乘积结构是否仅依赖于流形的同伦型？

主要发现

• Goresky-Hingston余乘积具有同伦不变性，即在基流形的同伦等价下保持不变。
• 自由圈空间同调上的余乘积结构与光滑结构无关，仅依赖于流形的同伦型。
• 该证明确立了余乘积与弦拓扑中链级结构的相容性。
• 该结果将不变性原理从Chas-Sullivan乘积扩展至余乘积，统一了弦拓扑中的关键结构。
• 通过有理同伦理论实现不变性，表明余乘积在流形的有理同伦型上是良定义的。