[论文解读] Homotopy types of Diffeomorphism groups of noncompact 2-manifolds

Tatsuhiko Yagasaki|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2001

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用 6

一句话总结

本论文研究了在紧致开 $C^{\infty}$-拓扑下，非紧致连通光滑 2-流形的微分同胚群的同伦类型。结果表明，微分同胚群的单位连通分支是一个拓扑 $\ell_2$-流形，若流形为平面、开口环面或开口莫比乌斯带，则其同伦类型为圆周；否则，其为可缩的。通过弱拓扑与同伦类技术，该结果可推广至保体积微分同胚的情形。

ABSTRACT

Suppose M is a noncompact connected smooth 2-manifold without boundary and let D(M)_0 denote the identity component of the diffeomorphism group of M with the compact-open C^infty-topology. In this paper we investigate the topological type of D(M)_0 and show that D(M)_0 is a topological ell_2-manifold and it has the homotopy type of the circle if M is the plane, the open annulus or the open M"obius band, and it is contractible in all other cases. When M admits a volume form w, we also discuss the topological type of the group of w-preserving diffeomorphisms of M. To obtain these results we study some fundamental properties of transformation groups on noncompact spaces endowed with weak topology.

研究动机与目标

• 在紧致开 $C^\infty$-拓扑下，对非紧致光滑 2-流形的微分同胚群的单位连通分支 $\mathcal{D}(M)_0$ 的同伦类型进行分类。
• 通过为非紧致空间上的变换群引入弱拓扑，将紧致情形的结果推广至非紧致曲面。
• 分析给定体积形式下，非紧致 2-流形上保体积微分同胚群的拓扑与同伦结构。
• 证明紧支集微分同胚且具有紧同伦的子群在完整微分同胚群中是同伦稠密的。

提出的方法

• 为非紧致空间上的变换群引入弱拓扑概念，其对应于紧致开拓扑。
• 通过验证 $\ell_2$-流形结构与同伦分类的条件，将先前关于同胚群的研究结果应用于微分同胚群。
• 利用紧致子流形的 exhausting 序列 $\{M_i\}$，通过嵌套子流形上的归纳论证，分析 $\mathcal{D}_X^r(M)_0$ 的同伦类型。
• 应用同伦稠密子空间与强形变重言（SDR）的概念，证明紧支集同伦在完整微分同胚群中是同伦稠密的。
• 利用末端电荷同态与同伦扩张定理，分析有限类型曲面上微分同胚群的结构。
• 借助无穷远处的亚历山大技巧与 SDR 论证，证明在特定情形下群为可缩或具有圆周型同伦。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致开 $C^\infty$-拓扑下，非紧致光滑 2-流形的微分同胚群的单位连通分支的同伦类型是什么？
• RQ2 当非紧致 2-流形上给定体积形式 $\omega$ 时，$\omega$-保体积微分同胚群在何种条件下同伦等价于圆周或可缩？
• RQ3 具有紧支集与紧同伦的微分同胚子群与完整微分同胚群在同伦意义下有何关系？
• RQ4 在何种条件下，紧支集微分同胚群在完整微分同胚群中是同伦稠密的？

主要发现

• 非紧致光滑 2-流形的微分同胚群的单位连通分支 $\mathcal{D}(M)_0$ 是一个拓扑 $\ell_2$-流形。
• 若 $M$ 为平面、开口环面或开口莫比乌斯带，则 $\mathcal{D}(M)_0$ 具有圆周 $\mathbb{S}^1$ 的同伦类型。
• 在所有其他情况下，$\mathcal{D}(M)_0$ 为可缩的。
• $\mathcal{D}^r_X(M)^c_0 \subset \mathcal{D}^r_X(M)_0$ 的包含映射是同伦等价，且 $\mathcal{D}^r_X(M)^{c*}_0$ 在 $\mathcal{D}^r_X(M)_0$ 中是同伦稠密的。
• 对于非紧致 2-流形上的保体积微分同胚群，$\mathcal{D}(M;\omega)_0$ 是一个拓扑 $\ell_2$-流形，且其同伦类型与 $\mathcal{D}(M)_0$ 相同。
• $\text{End charge}$ 同态 $c^\omega_0$ 的核是 $\mathcal{D}(M;\omega)_0$ 的强形变重言，且其紧支集同伦子群是同伦稠密的。