[论文解读] Honeycomb Schroedinger operators in the strong binding regime

Charles Fefferman, James Lee-Thorp+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2016

Topological Materials and Phenomena参考文献 42被引用 6

一句话总结

该论文证明，在强束缚 regime下，蜂窝形薛定谔算符的最低两支Floquet-Bloch色散面经适当缩放后，一致收敛于两带紧束缚模型（Wallace, 1947）的色散面。分析证明了狄拉克点的出现，并为打破π对称性的系统中的能隙提供了严格结果，以及在大横向局域扰动下依然稳定的拓扑保护边缘态。

ABSTRACT

In this article, we study the Schrödinger operator for a large class of periodic potentials with the symmetry of a hexagonal tiling of the plane. The potentials we consider are superpositions of localized potential wells, centered on the vertices of a regular honeycomb structure corresponding to the single electron model of graphene and its artificial analogues. We consider this Schrödinger operator in the regime of strong binding, where the depth of the potential wells is large. Our main result is that for sufficiently deep potentials, the lowest two Floquet-Bloch dispersion surfaces, when appropriately rescaled, converge uniformly to those of the two-band tight-binding model (Wallace, 1947). Furthermore, we establish as corollaries, in the regime of strong binding, results on (a) the existence of spectral gaps for honeycomb potentials that break $\mathcal{P}\mathcal{T}$ symmetry and (b) the existence of topologically protected edge states -- states which propagate parallel to and are localized transverse to a line-defect or "edge" - for a large class of rational edges, and which are robust to large localized perturbations of the edge. We believe that the ideas of this article may be applicable in other settings for which a tight-binding model emerges in an extreme parameter limit.

研究动机与目标

• 严格证明在强束缚 regime 下，具有蜂窝形势的薛定谔算符的低能有效理论为两带紧束缚模型。
• 通过收敛至紧束缚极限，建立打破πT对称性的蜂窝形势中能隙存在的严格结果。
• 证明一类有理边缘在横向局域扰动下，拓扑保护边缘态的存在性及其鲁棒性。
• 为紧束缚模型在极端参数极限下的出现提供数学框架，其适用范围超越石墨烯。

提出的方法

• 使用Floquet-Bloch理论分析具有蜂窝对称性的周期性薛定谔算符的谱。
• 应用微扰理论，并通过 $\rho^\lambda = \lambda^2 \|V_0\|_{L^\infty}^{-1}$ 缩放能量层级，将连续模型与紧束缚极限联系起来。
• 采用几何引理（引理15.1）控制Wannier函数之间的重叠，确保矩阵元的指数衰减。
• 利用自伴微扰理论推导色散面的渐近展开式，并对解析延拓算符与投影算符施加有界性估计。
• 利用能隙性质（EG）与基态界（GS）控制谱分离，确保低能子空间的收敛性。
• 分析缩放后的哈密顿量 $\widetilde{H}^\lambda_{\bf k} = H^\lambda_{\bf k}/\rho^\lambda$，证明当 $\lambda \to \infty$ 时，其收敛于紧束缚哈密顿量 $H_{\rm TB}({\bf k})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在强束缚 regime 下，蜂窝形薛定谔算符的最低两支Floquet-Bloch色散面如何行为？
• RQ2 在何种条件下，连续薛定谔算符收敛于两带紧束缚模型？
• RQ3 能否在打破$\mathcal{P}\mathcal{T}$对称性的蜂窝形势中严格建立能隙？
• RQ4 在蜂窝形势中，有理边缘是否存在拓扑保护边缘态？其在大横向局域扰动下是否稳定？
• RQ5 收敛与稳定性常数对势参数与几何结构的定量依赖关系为何？

主要发现

• 当势阱足够深（$\lambda \geq \lambda_*$）时，缩放后的色散面 $\rho^{-1}(E_\pm^\lambda({\bf k}) - E_D^\lambda)$ 一致收敛于两带紧束缚模型的色散面。
• 收敛速度为指数级快：对某个 $c>0$，有 $\mathcal{O}(e^{-c\lambda})$，且对所有 ${\bf k}$ 一致成立。
• 作为紧束缚极限的推论，在打破$\mathcal{P}\mathcal{T}$对称性的蜂窝形势中，薛定谔算符存在能隙。
• 对于一大类有理边缘，拓扑保护边缘态存在，且由于其从狄拉克点分岔而来，对大横向局域扰动具有鲁棒性。
• 收敛与稳定性估计中的常数仅依赖于 $\beta_{\rm max}$、能隙 $c_{\rm gap}$、基态界 $C$，以及 $r_{\rm critical} - r_0$ 的下界。
• 该框架适用于一般原子势 $V_1({\bf x})$，即使其不显式为 $\lambda^2 V_0$ 形式，只需定义 $\lambda = \|V_1\|_{L^\infty}^{1/2}$ 与 $V_0 = \lambda^{-2} V_1$ 即可。