[论文解读] Hopf Algebroids, Bimodule Connections and Noncommutative Geometry

Aryan Ghobadi|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2020

Advanced Topics in Algebra参考文献 28被引用 7

一句话总结

本文利用代数上的的一阶微分演算，构造了非交换代数上的霍普夫双代数的新例子。它引入了一个表示左双模联络的左双代数 $B\frak{X}^1$，并在 $\frak{X}^1$ 与 $\frak{\textstyle\bigwedge}^2\frak{X}^1$ 满足对偶性条件时，构造出一个用于分类平坦双模联络的霍普夫双代数 $\mathcal{D}\frak{X}$，在交换情形下，该构造可作为商式恢复李-里内哈特霍普夫双代数。

ABSTRACT

We construct new examples of left bialgebroids and Hopf algebroids, arising from noncommutative geometry. Given a first order differential calculus $Ω$ on an algebra $A$, with the space of left vector fields $\mathfrak{X}$, we construct a left $A$-bialgeroid $B\mathfrak{X}$, whose category of left modules is isomorphic to the category of left bimodule connections over the calculus. When $Ω$ is a pivotal bimodule, we construct a Hopf algebroid $H\mathfrak{X}$ over $A$, by restricting to a subcategory of bimodule connections which intertwine with both $Ω$ and $\mathfrak{X}$ in a compatible manner. Assuming the space of 2-forms $Ω^{2}$ is pivotal as well, we construct the corresponding Hopf algebroid $\mathcal{D}\mathfrak{X}$ for flat bimodule connections, and recover Lie-Rinehart Hopf algebroids as a quotient of our construction in the commutative case. We use these constructions to provide explicit examples of Hopf algebroids over noncommutative bases.

研究动机与目标

• 为解决非交换基代数上显式霍普夫双代数例子的稀缺性问题。
• 利用非交换微分几何，将李-里内哈特霍普夫双代数推广至非交换设定。
• 构造一个霍普夫双代数结构，用于分类具有首阶微分演算的非交换代数上的平坦双模联络。
• 为所构造的霍普夫双代数中反演元存在的条件提供判据，扩展文献中的结果。
• 建立所构造双代数上的模与微分演算上双模联络范畴之间的范畴等价。

提出的方法

• 构造一个左双代数 $B\frak{X}^1$，其左模范畴与代数 $A$ 上首阶微分演算的左双模联络范畴等价。
• 在 1-形式空间 $\Omega^1$ 和左向量场空间 $\frak{X}^1$ 上赋予对偶双模结构，以定义霍普夫双代数 $H\frak{X}^1$。
• 当 2-形式空间 $\Omega^2$ 也具备对偶性时，将构造推广至霍普夫双代数 $\mathcal{D}\frak{X}$，用于分类平坦双模联络。
• 利用双代数的普遍性质，通过在 $A$ 上的张量积实现双模联络的张量积结构。
• 应用舒奥恩堡的霍普夫双代数公理体系，并为博姆与斯扎拉尼亚的反演元存在性提供判据。
• 证明在交换情形下，当 $\frak{X}^1$ 是有限生成且投影时，该构造通过商化可恢复经典李-里内哈特霍普夫双代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在非交换代数上构造一个霍普夫双代数，以分类由首阶微分演算产生的双模联络？
• RQ2 在何种微分演算条件下，所构造的双代数可具备具有反演元的霍普夫双代数结构？
• RQ3 该构造在交换设定下与经典李-里内哈特霍普夫双代数有何关系？
• RQ4 所构造双代数的模与双模联络范畴之间存在何种范畴关系？
• RQ5 所构造霍普夫双代数中反演元的存在性能否以基代数上的右作用形式表征？

主要发现

• 左双代数 $B\frak{X}^1$ 的构造使得其左模范畴与微分演算上左双模联络范畴等价。
• 当 $\Omega^1$ 与 $\frak{X}^1$ 均为对偶双模时，该构造产生一个霍普夫双代数 $H\frak{X}^1$，用于分类与两个模相容的双模联络。
• 对于平坦双模联络，当 $\Omega^2$ 也具备对偶性时，可构造霍普夫双代数 $\mathcal{D}\frak{X}$，且在交换情形下，该构造可通过商化恢复李-里内哈特霍普夫双代数。
• 本文为 $\mathcal{D}\frak{X}$ 中反演元的存在性提供了判据，表明其存在当且仅当 $A$ 允许 $\mathcal{D}\frak{X}$ 的右作用。
• 定理 4.13 中构造的反演元在应用商化关系后，与文献 [20] 中的结果一致，确认了与已有工作的相容性。
• 该构造无需满足雅可比恒等式或扩展至 $\Omega^3$，表明平坦性已足够保证霍普夫双代数结构，而无需完整李代数群数据。