[论文解读] Horizontal variation of Tate--Shafarevich groups

Ashay Burungale, Haruzo Hida+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文研究了在虚二次域上通过理想类特征标扭的椭圆曲线的 Tate--Shafarevich 群的 $p$-部分的水平变化。利用在四元数代数上的自守形式、扭周期与 Heegner 点的 Euler 系统，以及 Shimura 集上的等分布结果，作者证明了在对 $p$ 和域 $K$ 有较弱条件的前提下，使得 $\chi$-同态 Tate--Shafarevich 群的 $\mathfrak{p}_\chi$-部分平凡的 $p$-正则特征标 $\chi$ 的数量至少以 $ (\ln |D_K|)^{1-\epsilon} $ 的速度随判别式 $D_K$ 增长，其中 $\epsilon > 0$ 任意小。该结果在 $\mathrm{GL}_2$-型动机的语境下建立了 Kummer 正则性的一个水平类比。

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve over $\mathbb{Q}$. Let $p$ be an odd prime and $ι: \overline{\mathbb{Q}}\hookrightarrow \mathbb{C}_p$ an embedding. Let $K$ be an imaginary quadratic field and $H_{K}$ the corresponding Hilbert class field. For a class group character $χ$ over $K$, let $\mathbb{Q}(χ)$ be the field generated by the image of $χ$ and $\mathfrak{p}_χ$ the prime of $\mathbb{Q}(χ)$ above $p$ determined via $ι_p$. Under mild hypotheses, we show that the number of class group characters $χ$ such that the $χ$-isotypic Tate--Shafarevich group of $E$ over $H_{K}$ is finite with trivial $\mathfrak{p}_χ$-part increases with the absolute value of the discriminant of $K$.

研究动机与目标

• 研究 $\mathrm{GL}_2$-型阿贝尔簇在 $\mathbb{Q}$ 上的 $p$-部分 Tate--Shafarevich 群在虚二次域 $K$ 变化时的水平变化，其中 $K$ 的导子与无穷型保持固定。
• 将 Kummer 的 $p$-正则性概念从类群推广到希尔伯特类域上椭圆曲线的 $\chi$-同态分量的 Tate--Shafarevich 群。
• 建立使得 $\chi$-同态 Tate--Shafarevich 群的 $\mathfrak{p}_\chi$-部分平凡的 $p$-正则特征标 $\chi$ 的数量的下界，该数量随 $K$ 的判别式 $|D_K|$ 增长。
• 统一研究此水平族中分析 Sha 的 $p$-部分（由 Birch--Swinnerton-Dyer 猜想预测）与代数 Tate--Shafarevich 群之间的关系。

提出的方法

• 利用在定和不定四元数代数上的自守形式理论，将 $L$-函数的特殊值与动机的算术不变量联系起来。
• 使用扭周期与 Heegner 点的 Euler 系统构造 $p$-进 $L$-函数，并控制 $\chi$-同态分量的 $p$-进赋值。
• 应用 Michel 的等分布定理，研究由定四元数代数导出的 Shimura 集上特殊点的分布，以控制 $\chi$-同态分量的分布。
• 利用由不定四元数代数导出的 Shimura 曲线上特殊点的 Zariski 稠密性，确保 $p$-进 $L$-函数与 Heegner 点的非零性。
• 通过 $p$-进 $L$-函数的非零性与伽罗瓦表示的结构，分析 Heegner 点的 $p$-不可除性。
• 通过 Bloch--Kato 猜想与 Mazur--Wiles 定理，建立分析 Sha 的 $p$-最小性与代数 Tate--Shafarevich 群的 $\mathfrak{p}_\chi$-部分平凡性之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于虚二次域 $K$，其判别式为 $D_K$，使得 $\chi$-同态 Tate--Shafarevich 群 $\cyr X(E/H_K)^\chi$ 的 $\mathfrak{p}_\chi$-部分平凡的 $p$-正则特征标 $\chi$ 的数量如何随 $D_K$ 增长？
• RQ2 能否通过扭周期与 Heegner 点的 Euler 系统控制 Tate--Shafarevich 群的 $p$-部分的水平变化？
• RQ3 在 Shimura 集上特殊点的等分布在多大程度上影响了 $K$ 的类群中 $p$-正则特征标的分布？
• RQ4 在此族中，分析 Sha 的 $p$-部分（由 Birch--Swinnerton-Dyer 猜想预测）与 $\chi$-同态代数 Tate--Shafarevich 群之间有何关系？
• RQ5 在何种条件下，$p$、$K$ 与伽罗瓦表示 $\rho_{A,\mathfrak{p}}$ 满足时，$p$-正则特征标的数量有 $\ln |D_K|$ 的幂次下界？

主要发现

• 在对 $p$ 和 $K$ 有较弱假设的前提下，使得 $\chi$-同态 Tate--Shafarevich 群 $\cyr X(E/H_K)^\chi$ 的 $\mathfrak{p}_\chi$-部分平凡的 $p$-正则特征标 $\chi \in \widehat{\mathrm{Cl}}_K$ 的数量至少以 $ (\ln |D_K|)^{1-\epsilon} $ 的速度增长，其中 $\epsilon > 0$ 任意小。
• 该增长速度在相同条件下对分析 Sha（由 Birch--Swinnerton-Dyer 猜想预测）与代数 Tate--Shafarevich 群均成立。
• 该结果通过 Heegner 点与扭周期相关的 $p$-进 $L$-函数的非零性得以建立，而该非零性由 Shimura 曲线上特殊点的 Zariski 稠密性所保证。
• $p$-正则性条件等价于 $\mathbb{Q}(\chi)$ 的 $\chi$-同态类群的 $\mathfrak{p}_\chi$-部分平凡，从而推广了 Kummer 的 $p$-正则性概念。
• 关键技术工具为 Michel 在定四元数 Shimura 集上特殊点的等分布性，以及通过 $p$-进 $L$-函数非零性保证的 Heegner 点的 $p$-不可除性。
• 该界限在根数为 $+1$ 与 $-1$ 的情况下均一致成立，证明分别依赖于扭周期与 Heegner 点框架下的平行论证。