[论文解读] How fast can a quantum computer search?

Lov K. Grover|ArXiv.org|Sep 10, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 20

一句话总结

本文提供了一种简单而直观的证明，表明量子计算机在搜索包含 N 个项目的无序列表时，至少需要 Ω(√N) 次查询，从而确立了量子搜索效率的根本下限。通过基于希尔伯特空间中态矢量扩展的几何论证，证明了为区分解而需要的正交态必须至少扩展 2N 个单位，而每次查询最多只能使该扩展增加 O(t²)，从而得出 √N 次查询的下限，该结果与 Grover 算法的性能完全一致。

ABSTRACT

This paper gives a simple proof of why a quantum computer, despite being in all possible states simultaneously, needs at least 0.707 sqrt(N) queries to retrieve a desired item from an unsorted list of items. The proof is refined to show that a quantum computer would need at least 0.785 sqrt(N) queries. The quantum search algorithm needs precisely this many queries.

研究动机与目标

• 确立量子搜索无序数据库所需查询次数的紧下界。
• 提供一种简单而几何化的证明，阐明为何量子搜索无法快于 O(√N) 次查询。
• 通过表明希尔伯特空间中态矢量的扩展限制了搜索速度，对早期界限进行改进。
• 通过证明任何量子算法都无法实现优于 Ω(√N) 的查询复杂度，证明 Grover 算法是最优的。

提出的方法

• 使用由 N 台量子计算机组成的集合，每台计算机搜索不同的目标项目。
• 将态矢量的'扩展'定义为相对于参考态的平方偏差之和，以量化可区分性。
• 应用定理 1 表明，为使 N 个正交态可区分，其扩展必须至少达到 2N 个单位。
• 使用定理 2 将每次查询的最大扩展增加量限制为 O(t²)，从而得出总扩展为 O(4t²)。
• 在定理 3 中采用更精细的分析，利用向量分量差异的三角不等式估计，将上界进一步收紧为 4N·sin²(t/N) + t/(2N)。
• 通过数学归纳法与微积分证明，每次查询的扩展最多为 O(t²)，从而导出 √N 的查询下限。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何量子算法在搜索包含 N 个项目无序列表时，所需的最少查询次数是多少？
• RQ2 为何 Grover 算法（实现 O(√N) 次查询）是最优的？
• RQ3 量子态矢量在希尔伯特空间中的几何扩展如何限制量子搜索的速度？
• RQ4 能否给出比以往复杂的酉变换论证更简单、更直观的 Ω(√N) 查询下限证明？
• RQ5 在量子搜索中，经过 t 次查询后，态矢量扩展的最紧上界是什么？

主要发现

• 本文证明，任何量子算法在搜索包含 N 个项目的无序列表时，必须至少进行 Ω(√N) 次查询。
• 该下界源于 N 个正交态矢量必须至少扩展 2N 个单位才能实现可区分性。
• 经过 t 次查询后可达到的最大扩展被限制在 4N·sin²(t/N) + t/(2N) 以内，其增长量级为 O(t²)。
• 该界限表明，为实现足够的扩展以实现可区分性，t 必须至少为 Ω(√N)。
• 分析表明，每次查询的扩展最多为 O(t²)，从而确认 √N 是最小查询次数。
• 该结果证实，Grover 算法（恰好使用 O(√N) 次查询）在渐近意义上是最优的。