[论文解读] How to Construct Curves over Finite Fields With Many Points

G.B.M. van der Geer, Marcel van der Vlugt|UvA-DARE (University of Amsterdam)|Nov 8, 1995

Cryptography and Residue Arithmetic被引用 27

一句话总结

本文提出了一种新颖的方法，用于在有限域上构造具有大量有理点的代数曲线，该方法利用编码理论中的迹码和广义权重分布。通过应用 Serre 的显式公式及 Oesterlé 的优化方法，作者显著改进了 $N_q(g)$ 的界限，即在 $ℝ_q$ 上 genus-$g$ 曲线的最大有理点数，并扩展了小 $q$ 和 $g \leq 50$ 情况下的已知值与区间表，尤其在特征 2 和 3 的情况下。

ABSTRACT

In this paper we give several methods to construct curves over finite fields with many points and illustrate this with examples of the results.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，用于在有限域上构造具有大量有理点的曲线，尤其针对小 $q$ 和 $g$ 的情况。
• 改进现有 $N_q(g)$ 的界限与表格，即在 $ℝ_q$ 上 genus-$g$ 曲线的最大有理点数，特别是在特征 2 和 3 的情况下。
• 通过结合 Serre 和 Oesterlé 的方法，利用新构造和更紧的上界，扩展 Wirtz 的 $N_q(g)$ 区间表。
• 通过展示编码理论中的广义汉明权重与曲线点数之间的对偶性，弥合编码理论与代数几何之间的联系，推动两个领域共同发展。

提出的方法

• 作者利用 $ℝ_q$ 上迹码的广义权重分布来构造具有大量有理点的曲线，利用码权重与曲线点数之间的对偶性。
• 他们应用 Serre 的显式公式，其中三角多项式 $f(\theta) = 1 + 2\sum u_n \cos n\theta$ 满足 $f(\theta) \geq 0$ 且 $u_n \geq 0$，从而导出形如 $N \leq a_f g + b_f$ 的界限。
• 系数 $a_f$ 和 $b_f$ 通过 $a_f = 1/\psi_1(1/\sqrt{q})$ 和 $b_f = 1 + \psi_1(\sqrt{q})/\psi_1(1/\sqrt{q})$ 计算，其中 $\psi_1(t) = \sum u_n t^n$，并通过 Oesterlé 算法对 $f$ 进行优化。
• 对于 $g \leq 50$，作者使用 Ihara-Serre 界或更优的 Oesterlé 界计算更紧的上界 $b$，尤其在 $q \geq 27$ 时效果更佳。
• 他们定义了一个包含新值的阈值：$a \geq \lfloor b / \sqrt{2} \rfloor$，以确保下界相对于理论极限具有合理比例。
• 通过生成特征 2 和 3 下 $N_q(g)$ 的新区间或精确值，验证了该构造方法，包括 $N_q(g)$ 已知为最大或近似最大的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用编码理论中的构造方法，特别是迹码和广义权重，来生成在有限域上具有大量有理点的曲线？
• RQ2 如何利用 Serre 的显式公式和 Oesterlé 的优化方法，改进已知的 $N_q(g)$ 界，特别是针对小 $q$ 和 $g \leq 50$ 的情况？
• RQ3 能否利用代数几何与编码理论之间的对偶性，同时改进 $N_q(g)$ 的界限并确定码中的广义汉明权重？
• RQ4 该方法在多大程度上可以扩展或细化 Wirtz 的 $N_q(g)$ 区间表，特别是在特征 2 和 3 的情况下？
• RQ5 当 $g \leq 50$ 且 $q$ 为小的素幂时，$N_q(g)$ 的实际值或紧区间是什么，特别是当 Hasse-Weil 界不够紧时？

主要发现

• 作者通过 Oesterlé 优化的显式公式改进了 $N_q(g)$ 的上界，该公式在 $q \geq 27$ 且 $g \leq 50$ 时优于 Ihara-Serre 界。
• 对于 $q=2$，本文提供了 $g=50$ 以内的 $N_2(g)$ 新区间，例如 $g=50$ 时为 $[36, 40]$，优于以往估计。
• 对于 $q=3$，本文报告 $N_3(50) \in [182, 186]$，相比早期松散界限有显著收紧。
• 该方法成功构造出满足 $\#C(\mathbb{F}_q) \geq \lfloor b / \sqrt{2} \rfloor$ 的曲线，确保下界相对于理论最大值具有合理比例。
• 作者确认：当 $g \leq (q - \sqrt{q})/2$ 时，Hasse-Weil 界是最优的，但当 $g$ 更大时，Ihara 和 Oesterlé 界提供了显著改进。
• 本文包含使用 Drinfeld 模块构造的 $q=3$ 和 $q=4$ 的新构造，依据 Niederreiter 和 Xing 的报告，并将其整合进更新后的表格中。