[论文解读] Hunting for Tractable Languages for Judgment Aggregation

Ronald de Haan|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2018

Game Theory and Voting Systems被引用 10

一句话总结

本文研究了用于判断聚合的可 tractable 表示语言，以克服标准命题逻辑中的计算难解性。通过聚焦于 Krom、Horn、确定性 Horn 公式以及 DNNF 电路，本文表明 DNNF 能够实现关键判断聚合任务的多项式时间计算，为参与式预算编制等应用提供了实用解决方案。

ABSTRACT

Judgment aggregation is a general framework for collective decision making that can be used to model many different settings. Due to its general nature, the worst case complexity of essentially all relevant problems in this framework is very high. However, these intractability results are mainly due to the fact that the language to represent the aggregation domain is overly expressive. We initiate an investigation of representation languages for judgment aggregation that strike a balance between (1) being limited enough to yield computational tractability results and (2) being expressive enough to model relevant applications. In particular, we consider the languages of Krom formulas, (definite) Horn formulas, and Boolean circuits in decomposable negation normal form (DNNF). We illustrate the use of the positive complexity results that we obtain for these languages with a concrete application: voting on how to spend a budget (i.e., participatory budgeting).

研究动机与目标

• 通过识别更受限制但表达力更强的表示语言，解决标准命题逻辑中判断聚合的计算难解性问题。
• 研究有限命题语言是否能在保持建模现实世界应用能力的同时，实现可 tractable 的复杂度结果。
• 识别在判断聚合过程中在表达力与计算效率之间实现平衡的表示语言。
• 通过参与式预算编制中的应用，证明这些语言的实际效用。
• 对不同语言类别的复杂度进行细致分析，特别是 DNNF 电路。

提出的方法

• 分析在受限命题语言（Krom（2CNF）、Horn、确定性 Horn 和 DNNF 电路）下判断聚合的计算复杂度。
• 应用知识编译中的已知结果，利用 DNNF 电路的可 tractable 性来处理判断聚合任务。
• 将判断聚合问题约化为受限公式类上的模型计数和模型最大化问题。
• 使用多项式时间约化，建立在各种聚合程序下结果计算的复杂度界限。
• 使用对 NP oracle 的访问，刻画涉及模型最大化问题的更高复杂度类（如 Θ₂^p 和 Δ₂^p）。
• 通过实例说明基于 DNNF 的表示在参与式预算编制场景中的应用，展示其如何实现集体决策的高效计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 受限命题语言（如 Krom、Horn 或 DNNF 公式）是否能为判断聚合带来可 tractable 的复杂度结果？
• RQ2 与完整命题逻辑相比，DNNF 电路在多大程度上支持判断聚合结果的多项式时间计算？
• RQ3 DNNF 电路在建模现实世界集体决策场景方面的表达力，与其它受限语言相比如何？
• RQ4 使用 DNNF 表示是否能为参与式预算编制这一具体应用带来高效算法？
• RQ5 当领域通过 DNNF 电路表示时，不同聚合程序下结果计算的精确复杂度是什么？

主要发现

• DNNF 电路能够实现关键判断聚合任务（包括多种聚合程序下的结果计算）的多项式时间计算。
• 当使用 DNNF 电路表示领域时，计算一致结果的问题是可 tractable 的，这与完整命题逻辑中的 NP-难解性形成对比。
• 对于 Krom 和 Horn 公式，复杂度在一般情况下仍较高，部分程序仍为 NP-难解，表明其可 tractable 性增益有限。
• 确定性 Horn 公式同样无法确保大多数聚合程序的可 tractable 性，凸显了这些类别的局限性。
• DNNF 公式的最大模型问题（Max-Model）属于 P，这支持了在模型最大化标准下实现结果选择的高效计算。
• 在参与式预算编制中的应用表明，基于 DNNF 的表示能够实现高效、可扩展的集体决策，且满足完整性约束。