[论文解读] Hyperbolic saddle measures and laminarity for holomorphic endomorphisms of $P^2C$

Sandrine Daurat|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文在 ℙ²ℂ 上的全纯自同态靠近双曲鞍型测度（支持在吸引集上）时，建立了格林当前的层状结构，推广了 Bedford 与 Jonsson 的结果。证明了不变测度 ν = T ∧ Tᵘ 的熵为 log(d)，实现周期点的等分布，并在管状邻域及小拓扑度或雅可比行列式假设下，其在不稳定流形上的条件测度由格林当前 T 所诱导。

ABSTRACT

We study the laminarity of the Green current of endomorphisms of $P^2C$ near hyperbolic measures of saddle type. When these measures are supported by attracting sets, we prove that the Green current is laminar in the basin of attraction and we obtain new ergodic properties. This generalizes some results of Bedford and Jonsson on regular polynomial mappings in $C^2$.

研究动机与目标

• 理解全息自同态在 ℙ²ℂ 上的迹测度 σ_T 几乎处处在吸引域中的动力行为。
• 将 Bedford 与 Jonsson 关于正则多项式映射的层状与等分布结果，推广至吸引域中非一致双曲、鞍型测度的情形。
• 建立不变测度 ν = T ∧ Tᵘ 为吸引域中唯一具有最大熵 log(d) 的测度。
• 证明 ν 在不稳定流形上的分解由格林当前 T 所诱导，扩展了在无穷远直线情形所见的结构。

提出的方法

• 假设 f 具有一个陷阱区域 U，其为曲线 ℓ 的管状邻域，确保 U 是欧氏收缩。
• 在吸引集 𝒜 的邻域中，对 f 强制满足小拓扑度（Sd_t）或小雅可比行列式（SJ）条件。
• 构造一个不变当前 Tᵘ ∈ ℂ_{(1,1)}(U)，使得 (1/d)f_*Tᵘ = Tᵘ，代表不稳定方向。
• 证明 ν = T ∧ Tᵘ 是熵为 log(d) 的混合测度，具有鞍型双曲性，且其支撑远离平衡测度 μ_eq。
• 通过参数 α ∈ V 的一族自同态 F_α,θ，使用形变技术构造一族当前 R_α,A 并分析其弱极限。
• 应用 Dinh 等人关于当前结构及其拉回结果，证明极限当前 R_1 恢复原始当前 R，从而推出层状性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，全息自同态在 ℙ²ℂ 上的格林当前 T 在双曲鞍型测度的吸引域中为层状？
• RQ2 能否为这类测度建立周期点在吸引域中的等分布性，且其是否弱*收敛于不变测度 ν = T ∧ Tᵘ？
• RQ3 ν 在不稳定流形上的分解是否由格林当前 T 所诱导，如 Bedford-Jonsson 情形所示？
• RQ4 能否在非一致双曲设定下证明 T 的层状性，从而推广至一致双曲或正则多项式映射的结果？
• RQ5 预像 f^{-n}(L) 的亏格增长在何种程度上可被控制，以推出 T 在吸引域中的层状性？

主要发现

• 不变测度 ν = T ∧ Tᵘ 是吸引集 𝒜 的吸引域 𝔹_𝒜 中唯一具有最大熵 log(d) 的测度。
• 归一化的周期点测度序列 ν_n = (1/d^n)∑_{κ∈Per_n ∩ 𝔹_𝒜} δ_κ 满足当 n → ∞ 时弱*收敛于 ν。
• ν 在不稳定流形上的条件测度由格林当前 T 所诱导，推广了 Bedford 与 Jonsson 在无穷远直线情形的结果。
• 在管状邻域及小拓扑度或雅可比行列式假设下，格林当前 T 在吸引域中为层状。
• 从 Pesin 方块构造的层状当前 T^s_𝒫 满足 M(T^s_𝒫 ∧ Tᵘ) ≥ ν(𝒫)(1−ε)νᵘ(𝒫)，暗示可能实现一致层状性。
• 在小拓扑度假设下，f^{-n}(L) ∩ U 的亏格增长为 O(n d^n)，但小柄数量被控制在 O(d^n) 以内，提示对层状性的部分控制。