[论文解读] Hypercubes, Leonard triples and the anticommutator spin algebra

George M. F. Brown|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文建立了超立方体 $Q_D$ 及其对径商 $\tilde{Q}_D$ 的Terwilliger代数与对合自旋代数 $\mathcal{A}$ 的有限维不可约模之间的对应关系。结果表明，邻接矩阵、对偶邻接矩阵与加权邻接矩阵在不可约模上的作用构成完全二分或几乎二分的Bannai/Ito型Leonard三元组，通过自旋代数的代数结构与超立方体几何，实现了对这类三元组的完整分类。

ABSTRACT

This paper is about three classes of objects: Leonard triples, distance-regular graphs and the modules for the anticommutator spin algebra. Let $\K$ denote an algebraically closed field of characteristic zero. Let $V$ denote a vector space over $\K$ with finite positive dimension. A Leonard triple on $V$ is an ordered triple of linear transformations in $\mathrm{End}(V)$ such that for each of these transformations there exists a basis for $V$ with respect to which the matrix representing that transformation is diagonal and the matrices representing the other two transformations are irreducible tridiagonal. The Leonard triples of interest to us are said to be totally B/AB and of Bannai/Ito type. Totally B/AB Leonard triples of Bannai/Ito type arise in conjunction with the anticommutator spin algebra $\mathcal{A}$, the unital associative $\K$-algebra defined by generators $x,y,z$ and relations\[xy+yx=2z,\qquad yz+zy=2x,\qquad zx+xz=2y.\] Let $D\geq0$ denote an integer, let $Q_{D}$ denote the hypercube of diameter $D$ and let $ ilde{Q}_{D}$ denote the antipodal quotient. Let $T$ (resp. $ ilde{T}$) denote the Terwilliger algebra for $Q_{D}$ (resp. $ ilde{Q}_{D}$). We obtain the following. When $D$ is even (resp. odd), we show that there exists a unique $\mathcal{A}$-module structure on $Q_{D}$ (resp. $ ilde{Q}_{D}$) such that $x,y$ act as the adjacency and dual adjacency matrices respectively. We classify the resulting irreducible $\mathcal{A}$-modules up to isomorphism. We introduce weighted adjacency matrices for $Q_{D}$, $ ilde{Q}_{D}$. When $D$ is even (resp. odd) we show that actions of the adjacency, dual adjacency and weighted adjacency matrices for $Q_{D}$ (resp. $ ilde{Q}_{D}$) on any irreducible $T$-module (resp. $ ilde{T}$-module) form a totally bipartite (resp. almost bipartite) Leonard triple of Bannai/Ito type and classify the Leonard triple up to isomorphism.

研究动机与目标

• 建立超立方体 $Q_D$ 及其对径商 $\tilde{Q}_D$ 的Terwilliger代数与对合自旋代数 $\mathcal{A}$ 的有限维不可约模之间的对应关系。
• 在由 $Q_D$ 和 $\tilde{Q}_D$ 的标准模通过邻接矩阵与对偶邻接矩阵定义的 $\mathcal{A}$-模结构下，对由此产生的不可约 $\mathcal{A}$-模进行分类。
• 为 $Q_D$ 和 $\tilde{Q}_D$ 定义并分析加权邻接矩阵，并证明其在不可约模上生成Leonard三元组的作用。
• 证明邻接矩阵、对偶邻接矩阵与加权邻接矩阵在不可约 $T$-或 $\tilde{T}$-模上的作用产生完全二分或完全几乎二分的Bannai/Ito型Leonard三元组。
• 根据模的起点与维度 $D$，对这些Leonard三元组进行同构分类，明确其归一化方式与直径。

提出的方法

• 在特征为零的代数闭域 $\mathbb{K}$ 上定义对合自旋代数 $\mathcal{A}$，由生成元 $x,y,z$ 生成，满足关系 $xy+yx=2z$，$yz+zy=2x$，$zx+xz=2y$。
• 在 $Q_D$（当 $D$ 为偶数时）或 $\tilde{Q}_D$（当 $D$ 为奇数时）的标准模上构造一个 $\mathcal{A}$-模结构，使得 $x$ 和 $y$ 分别作用为邻接矩阵与对偶邻接矩阵。
• 为 $Q_D$ 引入加权邻接矩阵 $\mathbf{C}$，为 $\tilde{Q}_D$ 引入 $\tilde{\mathbf{C}}$，其矩阵元为 $(-1)^i$，其中 $i$ 是到固定顶点 $\mathbf{x}$ 的最小距离。
• 利用 $\mathcal{A}$-模结构与代数关系，证明 $\mathbf{C}$ 与 $\tilde{\mathbf{C}}$ 分别属于Terwilliger代数 $T$ 与 $\tilde{T}$。
• 证明在任意不可约 $T$-模上，$\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ 的作用构成完全二分的Bannai/Ito型Leonard三元组，且在 $\tilde{T}$-模上，$\tilde{\mathbf{A}}, \tilde{\mathbf{B}}, \tilde{\mathbf{C}}$ 的作用也构成完全二分的Bannai/Ito型Leonard三元组。
• 通过模的起点 $r$ 与 $D$ 或 $\mathcal{D}$ 的奇偶性，利用归一化与直径对所得Leonard三元组进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在超立方体 $Q_D$ 或其对径商 $\tilde{Q}_D$ 上，邻接矩阵、对偶邻接矩阵与加权邻接矩阵如何生成Leonard三元组？
• RQ2 在由自旋代数关系定义的 $\mathcal{A}$-模结构下，$Q_D$ 与 $\tilde{Q}_D$ 的标准模所导出的不可约 $\mathcal{A}$-模具有何种结构？
• RQ3 这些Leonard三元组如何根据其类型（二分或几乎二分）、归一化方式与直径进行分类？
• RQ4 加权邻接矩阵在不可约Terwilliger代数模上生成完全二分或几乎二分Leonard三元组的过程中起何种作用？
• RQ5 维度 $D$ 的奇偶性如何影响模结构与最终的Leonard三元组分类？

主要发现

• 当 $D$ 为偶数时，存在唯一的 $\mathcal{A}$-模结构作用于 $Q_D$ 的标准模，使得 $x,y$ 分别作为邻接矩阵与对偶邻接矩阵作用，且由此产生的不可约 $\mathcal{A}$-模可完全同构分类。
• 当 $D$ 为奇数时，存在唯一的 $\mathcal{A}$-模结构作用于 $\tilde{Q}_D$ 的标准模，使得 $x,y$ 分别作为邻接矩阵与对偶邻接矩阵作用，且不可约 $\mathcal{A}$-模亦可同构分类。
• 超立方体 $Q_D$ 的加权邻接矩阵 $\mathbf{C}$ 在相邻顶点处的矩阵元为 $(-1)^i$，其中 $i$ 是到固定顶点 $\mathbf{x}$ 的最小距离，且 $\mathbf{C}$ 属于Terwilliger代数 $T$。
• 在任意不可约 $T$-模上，$\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ 的作用构成完全二分的Bannai/Ito型Leonard三元组，且该三元组的直径为 $D - 2r$，其中 $r$ 为模的起点。
• 在任意不可约 $\tilde{T}$-模上，$\tilde{\mathbf{A}}, \tilde{\mathbf{B}}, \tilde{\mathbf{C}}$ 的作用构成完全几乎二分的Bannai/Ito型Leonard三元组，且该三元组为 $n$-归一化，直径为 $\mathcal{D} - r$，其中 $n$ 依赖于 $r$ 与 $\mathcal{D}$ 的奇偶性。
• 所得Leonard三元组的分类是完整的：每个不可约 $T$-或 $\tilde{T}$-模均唯一诱导出一个完全二分/几乎二分的Bannai/Ito型Leonard三元组，其完全由模的起点与维度 $D$ 或 $\mathcal{D}$ 所刻画。